Unelte utilizator

Unelte site


laboratoare:laborator-06

Laborator 06: Introducere în teoria grafurilor


1 Obiectivele laboratorului

  • Definirea structurii și elementelor unui graf neorientat
  • Definirea structurii și elementelor unui graf orientat

2 Grafuri neorientate

2.1 Definiție

Un graf neorientat este o pereche ordonată de multimi(X,U),unde:

  • X este o mulțime finită și nevidă de elemente numite noduri sau vârfuri
  • U este o mulțime de perechi neordonate din X,numite muchii

2.2 Structură

Un graf are următoarele elemente:

  • Mulțimea nodurilor X - Mulțimea tuturor nodurilor grafului
  • Multimea muchiilor U - Mulțimea tuturor muchiilor grafului
  • Gradul nodului - numărul de muchii formate cu ajutorul nodului respectiv
  • Nod izolat - Un nod ce nu formează nici-o muchie
  • Noduri terminale - Un nod ce formează o singură muchie
  • Noduri adiacente - Noduri intre care există o muchie
  • Nod si muchie incidente - Nodul face parte dintr-o muchie
Ce relaţie există între suma gradelor tuturor vârfurilor dintr-un graf neorientat şi numărul de muchii?
Într-un graf complet, oricare două noduri sunt adiacente. Câte muchii are un astfel de graf?



2.3 Reprezentare

  • Matricea de adiacență - este o matrice a cu n linii și n coloane,în care elementele a[i,j] se definesc astfel:
    • a[i,j] = 1 ,dacă ∃ muchia [i,j] cu i≠j
    • a[i,j] = 0 ,în caz contrar
  • Lista de adiacență - este un tablou de liste egal cu numarul de varfuri;dacă există o muchie intre nodul curent si un alt nod,atunci acesta se trece în listă
  • Vectorul de muchii - mulțime ce conține toate muchiile grafului

Având lista de adiacentă:

  • A:B→C→D
  • B:A→D→E
  • C:A→D
  • D:A→B→C→D→E
  • E:B→D
Un graf parțial este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea uneia sau mai multor muchii
Un subgraf este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea unui număr de noduri impreună cu muchiile formate cu acele noduri
Se numește lanț într-un graf,o succesiune de vârfuri L={v1,v2,…,vk},cu proprietatea că oricare două vârfuri consecutive sunt adiacente,adică există o muchie între acestea.

Se numeşte lanţ elementar un lanţ în care nu se repetă vârfuri.

Se numeşte lanţ simplu un lanţ în care nu se repetă muchii.

Se numeşte ciclu un lanţ simplu pentru care primul şi ultimul vârf coincid.

Se numeşte ciclu elementar un ciclu în care nu se repetă vârfuri(excepţie primul şi ultimul).

3 Grafuri orientate

3.1 Definiție

Un graf orientat este o pereche ordonată de mulțimi G={X,U},unde:

  • X este o mulțime finită și nevidă numită mulțimea nodurilor(vârfurilor)
  • U este o mulțime formată din perechi ordonate de elemente ale lui X,numită mulțimea arcelor

3.2 Structură

Într-un graf orientat, distingem:

  • gradul interior/intern al unui nod: numărul de arce care intră în nod
  • gradul exterior/extern al unui nod: numărul de arce care ies din nod
Ce relaţie există între suma gradelor exterioare, suma gradelor interioare şi numărul de arce?

3.3 Reprezentare

Matricea de adiacență - este o matrice a cu n linii și n coloane,în care elementele a[i,j] se definesc astfel:

  • a[i,j] = 1 ,dacă ∃ arcul (i,j) în mulțimea U
  • a[i,j] = 0 ,în caz contrar


Matricea vârfuri-arce este o matrice B cu n = |X| linii și m = |U| coloane,în care fiecare element b[i,j] este:

  • 1 ,dacă nodul i este o extremitate inițială a arcului
  • -1 ,dacă nodul i este o extremitate finală a arcului
  • 0 ,dacă nodul i nu este o extremitate a arcului

4 Parcurgerea grafurilor

4.1 Parcurgerea în lățime

Parcurgerea în lățime (Breadth-First-Search -BFS) este o metodă ce presupune vizitarea nodurilor în următoarea ordine:

  • nodul sursă (considerat a fi pe nivelul 0)
  • vecinii nodului sursă (reprezentând nivelul 1)
  • vecinii încă nevizitați ai nodurilor de pe nivelul 1 (reprezentând nivelul 2)
  • ș.a.m.d

4.1.1 Implementare

Pe masură ce algoritmul avansează,se colorează nodurile în felul următor:

  • alb - nodul este nedescoperit încă
  • gri - nodul a fost descoperit și este în curs de procesare
  • negru - procesarea nodului s-a încheiat Se păstrează informațiile despre distanța până la nodul sursă. Se obține arborele BFS


Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (Q) în care inițial se află doar nodul sursă.Se vizitează pe rând vecinii acestui nod și se pun și ei în coadă.În momentul în care nu mai există vecini nevizitați,nodul sursă este scos din coadă.

Pentru fiecare nod u din graf
{
     culoare[u]=alb
     d[u] = infinit    //in d se retine distanta pana la nodul sursa
     p[u] = null       //
}
 
culoare[sursă]=gri
d[sursă]=0
enqueue(Q,sursă)     //punem nodul sursă în coada Q
 
Cât timp coada Q nu este vidă
{
     v=dequeue(Q)   //extragem nodul v din coadă
     pentru fiecare u dintre vecinii lui v
          dacă culoare[u] == alb
          {
               culoare[u] = gri
               p[u] = v
               d[u] = d[v] + 1
               enqueue(Q,u)   //adăugăm nodul u în coadă
          }
     culoare[v] = negru   //am terminat explorarea vecinilor lui v
}


Exemplu

4.2 Parcurgerea în adâncime

Parcurgea în adâncime (Depth-First-Search -DFS) presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine:

  • Nodul sursă
  • Primul vecin nevizitat al nodului sursă (îl numim V1)
  • Primul vecin nevizitat al lui V1 (îl numim V2)
  • ș.a.m.d
  • În momentul în care am epuizat vecinii unui nod Vn, continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior,Vn-1

Această metoda de parcurgere pune prioritate pe explorarea în adâncime (pe distanțe tot mai mari față de nodul sursă).

4.2.1 Implementare

Spre deosebire de BFS, DFS utilizează o stivă în loc de o coadă. Putem defini o stivă sau ne putem folosi de stiva compilatorului, prin apeluri recursive.

funcţie pasDFS(curent)
{
	pentru fiecare u dintre vecinii nodului curent
          dacă culoare[u] == alb
          {
               culoare[u] = gri
               p[u] = curent
               d[u] = d[curent] + 1
               pasDFS(u);   //adăugăm nodul u în "stivă" şi începem explorarea
          }
	culoare[curent] = negru   //am terminat explorarea vecinilor nodului curent
	//ieşirea din funcţie este echivalentă cu eliminarea unui element din stivă
}
Pentru fiecare nod u din graf
{
     culoare[u]=alb
     d[u] = infinit    //in d se retine distanta pana la nodul sursa
     p[u] = null
}
culoare[sursă] = gri;
d[sursă] = 0;
 
//se apelează iniţial pasDFS(sursă)

5. Exerciţii

Implementaţi, pentru fiecare cerinţă, câte o funcţie care:

  1. creează matricea de adiacenţă pentru un graf neorientat cu N noduri, folosindu-se de o listă(sau o matrice cu 2 coloane) de muchii(la alegere - muchiile citite în funcţie sau primite printr-un parametru).
  2. calculează gradul fiecărui nod. Afişaţi numărul de noduri izolate şi numărul de noduri terminale.
  3. primeşte un şir de noduri şi verifică dacă acesta poate reprezenta un lanţ.
  4. primeşte un şir de noduri şi afişează matricea de adiacenţă a subgrafului format cu nodurile respective
  5. afişează matricea de adiacenţă a unui graf orientat construit astfel:
    • graful orientat are atâtea arce câte muchii are graful neorientat
    • există arc în graful orientat între două noduri daca şi numai dacă există muchie între aceleaşi noduri în graful neorientat.
    • Extra - câte astfel de grafuri orientate pot fi formate?

Cerinţele 2, 3, 4 şi 5 se vor folosi de matricea de adiacenţă a grafului de la cerinţa 1.

5.1. Exerciții - schelet de laborator

Pentru acest laborator puteți descărca scheletul de cod de aici. Descărcați arhiva și dezarhivați-o.

Linux

Puteti folosi utilitarul wget pentru descarcare si utilitarul unzip pentru dezarhivare.

  • wget http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab5_grafuri-skel.zip
  • unzip lab5_grafuri-skel.zip

Pentru compilare folositi comanda make. Pentru rulare puteti folosi comanda make run sau ./graph.

De interviu

  • Plecând dintr-un nod K, verificaţi dacă puteţi găsi un ciclu în graf.
  • Verificaţi dacă există un lanţ care uneşte nodurile sursă(S) şi destinaţie(D). Dacă există, cum puteţi găsi lanţul cu număr minim de muchii?
  • Verificaţi dacă există un lanţ hamiltonian în graf.
  • Verificaţi dacă există un lanţ eulerian în graf.
  • Verificaţi dacă o muchie dată (A, B) este un pod pentru drumul de la S la D.

Un lanţ hamiltonian este un lanţ elementar(nu se repetă nodurile) care trece prin fiecare nod.

Un lanţ eulerian este un lanţ simplu(nu se repetă muchiile) care trece prin fiecare muchie.

Spunem că muchia (A, B) este pod pentru drumul de la S la D dacă orice lanţ care duce de la S la D trece prin muchia (A, B).

laboratoare/laborator-06.txt · Ultima modificare: 2018/02/25 22:43 de către mihai.iacov