Unelte utilizator

Unelte site


laboratoare:laborator-04

Aceasta e o versiune anterioară a paginii.


Laborator 04: Arbori


1 Obiectivele laboratorului

  • Înțelegerea noțiunii de arbore și a structurii unui arbore binar
  • Citirea unei expresii matematice și construirea arborelui binar asociat
  • Înțelegerea structurii și proprietăților unui arbore binar de căutare
  • Realizarea diferitelor operații folosint arborii binari de căutare


Noţiuni introductive

Definiţie generală

Un arbore poate fi definit ca: structură de date ce conţine noduri şi legături, fără circularitate. Un arbore poate fi văzut ca o extindere de la lista simplu înlănţuită şi necirculară, eliminând condiţia de a exista o singură legătură ce pleacă dintr-un nod, adică maxim un singur nod „următor“.

Rădăcină(Root)

Numim rădăcină primul nod al arborelui(echivalentul capului de listă).

Copil - Părinte(Child - Parent)

Nodul P este părintele nodului C dacă are legătură către C(similar, C este copilul lui P).

  • Pot apărea şi alţi termeni pentru relaţia dintre noduri: fraţi(siblings), veri(cousins) etc.
Rădăcina NU poate fi nod-copil.

Gradul(Degree)

Gradul unui nod este egal cu numărul de copii ai acestuia.

Frunză(Leaf) şi nod intern/extern(internal/external)

Numim frunză un nod fără copii(nod terminal).

  • Frunzele se mai numesc noduri externe.
  • Nodurile care au copii se mai numesc noduri interne.

Urmaş(Descendant)

Nodul U este urmaşul nodului S dacă putem „coborî“(mergând numai de la părinte la copil) de la S la U.

Strămoş(Ancestor)

Nodul S este strămoşul nodului U dacă U este urmaşul lui S(putem „urca“ de la U la S).

Rădăcina este strămoşul tuturor celorlalte noduri din arbore.

Înălţime(Height)

Definim înălţimea unui nod egală cu numărul de legături pe care „coborâm“ de la acel nod la cea mai îndepărtată frunză.

înălţimea arborelui = înălţimea rădăcinii

Adâncime(Depth)

Definim adâncimea unui nod egală cu cu numărul de legături pe care „coborâm“ de la rădăcină la nodul respectiv.

adâncimea rădăcinii = 0

Nivel(Level)

Definim nivelul unui nod egal cu 1 + adâncimea.

Pădure(Forest)

Numim pădure o mulţime de N(de obicei N >= 2) arbori disjuncţi(care nu au noduri comune).

Vector de taţi(Parent array/vector)

Vectorul de taţi reprezintă o soluţie ieftină(d.p.d.v. al memoriei) de reprezentare a unui arbore atunci când nodurile pot avea un număr diferit de legături. În acest caz, ne putem folosi de faptul că fiecare nod-copil are un singur părinte, indiferent de câţi copii are părintele respectiv. Rădăcina arborelui este singura excepţie.

//fie n = nr. de noduri
//nodurile sunt numerotate de la 0 la n-1
//fie doua noduri numerotate cu indicii A si B
Parent[A] = B; // Parintele nodului A este nodul B
//fie Root nodul radacina
Parent[Root] = -1; //nu exista nod numerotat cu -1

2 Arbori binari

2.1 Definiție

Un arbore binar este alcătuit din noduri, unde fiecare nod conține un pointer către „stânga“ și un pointer către „dreapta“ și un element de tip dată.
Pointer-ul „root (rădăcină)“ reprezintă adresa celui mai de sus nod din arbore.Pointerii din „stânga“ și „drepta“ punctează în mod recursiv, pe fiecare aprte, la subarbori mai mici.
Arborii sunt folosiți in general pentru a modela o ierarhie de elemente.Astfel,fiecare element (nod) poate deține un număr de unul sau mai mulți descentenți,iar în acest caz nodul este numit părinte al nodului descendent.
Un nod fără descendenți este un nod terminal, sau nod frunză.

# poza arbore#

Alte noţiuni introductive

Arbore binar plin

Un arbore binar este plin dacă nu există niciun nod intern la care mai putem lega un nod-copil nou(Toate nodurile, în afară de frunze, au număr maxim de copii).

Arbore binar complet

Un arbore binar este complet dacă fiecare nivel(cu posibila excepţie a ultimului) este complet ocupat.

Arbore binar perfect

Un arbore binar este perfect dacă este complet ocupat pe fiecare nivel(fără excepţii).

Puteţi întâlni variante diferite pentru ultimele trei definiţii şi, de aceea, pot apărea confuzii legate de semnificaţia termenilor plin, complet şi perfect. În cazul în care aveţi de lucrat cu arbori binari plini/compleţi/perfecţi, asiguraţi-vă că toată lumea se referă la aceleaşi noţiuni.

2.2 Reprezentare

Structura nodului unui arbore este urmatarea:

struct node {
     int data;
     struct node* left;
     struct node* right;
};

2.3 Parcurgere

  • În adâncime
    • Preordine (RSD)
      • Se parcurge rădăcina
      • Se parcurge subarborele stâng
      • Se parcurge subarborele drept
        void search_tree_preordine (tree *root) {
             if( root!=NULL){
                  count << root->data <<"\n";
                  search_tree_preordine(root->left);
                  search_tree_preordine(root->right);
             }
        }
    • Inordine (SRD)
      • Se parcurge subarborele stâng
      • Se parcurge rădăcina
      • Se parcurge subarborele drept
        void search_tree_inordine(tree *root){
             if( root!=NULL){
                  search_tree_inordine(root->left);
                  cout << root->data <<"\n";
                  search_tree_inordine(root->right);
             }
        }
         
    • Postordine
      • Se parcurge subarborele stâng
      • Se parcurge subarborele drept
      • Se parcurge rădăcina
        void search_tree_postordine(tree *root){
             if( root!=NULL){
                  search_tree_postordine(root->left);
                  search_tree_postordine(root->right);
                  cout << root->data <<"\n";
             }
        }
  • În lățime
    Această parcurgere reprezintă vizitarea „nivel cu nivel“ a arborelui.
    De exemplu, vom obține j,f,k,a,h,z,d pentru arborele:
       tree
       ---
        j       <--level 0
       / \
      f   k     <--level 1
     / \   \   
    a   h   z   <--level 2
     \
      d         <--level 3 
      


    Vom folosi acest tip de parcurgere pentru a evidenția:

  • ierarhia posturilor unei companii,
  • un arbore genealogic,
  • arborele unui joc (unde rădăcina reprezintă starea curentă,nivelul 1 posibilele mele mutări,nivelul 2 posibilele mutări ale adversarului,nivelul 3 posibilele mele mutari și tot așa).

Cum se realizează această implementare?
Vom folosi o coadă în care vom introduce rădăcina, apoi informația din stânga, apoi informația din dreapta, apoi coborând pe subarborele stâng procedăm la fel, iar după ne vom întoarce pe subarborele drept să aplicăm aceeași operație și tot așa până vom ajunge la frunze.
Coada ne dă posibilitatea să scoatem prima informație,prima băgată ⇒ierarhia.

Observatie!
Nodurile frunză nu au descendenți:nodul stâng și nodul drept pointează la NULL și nu trebuie adăugate în coadă.

3 Arbori binari de căutare

3.1 Definiție

Un arbore binar de căutare este un arbore binar care are în plus următoarele proprietăți:

  • Cheile stocate în noduri (informația utilă) aparțin unei mulțimi peste care există o relație de ordine.
  • Cheia dintr-un nod oarecare este mai mare decât cheile tuturor nodurilor din subarborele stâng si este mai mică decât cheile tuturor nodurilor ce compun subarborele drept.

Astfel,valoarea maximă dintr-un arbore binar de căutare se află în nodul din extremitatea dreaptă și se determină prin coborârea pe subarborele drept,iar valoarea minimă se află în nodul din extremitatea stângă.
Observatie!
Parcurgerea inordine produce o secvență ordonată crescător a cheilor din nodurile arborelui.

3.2 Operații

  • Căutarea unei chei într-un arbore binar de căutare este asemănătoare căutării binare:cheia căutată este comparată cu cheia din nodul curent (inițial nodul rădăcină).În funcție de rezultatul comparației apar trei cazuri:
    • acestea coincid ⇒ elementul a fost găsit
    • elementul căutat este mai mic decât cheia din nodul curent ⇒ căutarea continuă în subarborele stâng
    • elementul căutat este mai mare decât cheia din nodul curent ⇒ căutarea continuă in subarborele drept

  • Înserarea unui nod se face,în funcție de rezultatul comparației cheilor,în subarborele stâng sau drept.Dacă arborele este vid,se creează un nod care devine nodul rădăcină al arborelui.În caz contrar,cheia se inserează ca fiu stâng sau fiu drept al unui nod din arbore.

  • Ștergerea unui nod este o operație puțin mai complicată,întrucât presupune o rearanjare a nodurilor.Pentru eliminarea unui nod dintr-un arbore binar de căutare sunt posibile următoarele cazuri:
    • nodul de șters nu există ⇒ operația se consideră încheiată
    • nodul de șters nu are succesori ⇒ este o frunză
    • nodul de șters are un singur succesor ⇒ nodul se va șterge și se refac legăturile în arbore
    • nodul de șters are doi succesori ⇒ se parcurge arborele drept,căutându-se cea mai mică valoare,mai mare decât a nodului care trebuie șters și se refac legăturile cu acesta.

4 Aplicații

4.1 Abstract Syntax Tree (Construcție Parse Tree)

#poza compiler structure#
In general,compilatoarele, indiferent de limbajul pe care îl tratează,parcurg un fisier sursă (sau mai multe),efectuează o serie de prelucrari asupra acestuia,pentru ca în final să obțină un set de intrucțiuni simple ce vor fi executate de procesor.
Primul pas în compilarea unui program este parsarea codului sursă pentru a produce un Abstract Syntax Tree.Programele sunt scrise sub formă de text,deci vom avea o secvență de caractere,ceea ce e dificil de manipulat de un calculator.
Aici intervine rolul unui:

  • lexer[5] care recunoaște șiruri ce aparțin unei gramatici strict prestabilite
  • parser care grupează șirurile structurat după o anumită regulă și adesea produc un AST

Să considerăm o expresie matematică:2 + 4*5 + 1*2*3
Pentru a crea un arbore de parsare avem nevoie să folosim următoarele structuri:

  • stivă rezultat - folosită pentru a reține operanzii si rezultatele intermediare ale operațiilor parcurse până la un moment dat
  • stivă de operatori - folosit pentru a reține operatorii
           +
          / \
         2    +
             / \
            *    *
           / \  / \
          4  5 1   *
                  / \
                 2   3 



Algoritmul presupune:
  1. Se parcurge expresia,termen cu termen (un termen poate fi operator sau operand)
  2. Dacă termenul curent este operand
    1. Aceasta se adaugă in stivă rezultat și se trece la termenul urmator
  3. Daca termenul curent este operator ($)
    1. Daca stiva operatorilor este vidă,se adaugă operatorul in stiva de operatori și se trece la termenul urmator
    2. Dacă stiva nu este vidă:
      1. Și operatorul curent are prioritate mai mare decât capul stivei (ex: crt este *,top(stivă) este +)
        • se adaugă operatorul în stivă și se trece la termenul următor
      2. Și operatorul curent are prioritate mai mică decât capul stivei (ex: crt este +,top(stivă) este *)
        • Se scot din stivă rezultatele ultimelor două rezultate
        • Se scoate un operator din stiva operatorilor
        • Se creează un nou rezultat intermediar,aplicând operatorul extras pe cele două rezultate de mai sus
        • Acest rezultat intermediar se adaugă în stiva de rezultate
        • Se verifică condițiile de la $(se compară din nou același operator curent cu operatorul din vârful stivei).

#poza mare arbori#

5 Exerciții

  1. Se dă un vector cu n întregi. Scrieţi o funcţie care să creeze un arbore binar de căutare cu valorile din vector.
  2. Se dă un arbore binar ce stochează întregi. Scrieţi o funcţie care verifică dacă arborele este binar de căutare.
  3. Se dă un arbore binar de căutare ce stochează întregi. Scrieţi o funcţie care verifică dacă o valoare dată se află în arbore(căutare).
  4. Acelaşi arbore – inserare(şi să rămână arbore de căutare)
  5. Acelaşi arbore – ştergere(şi să rămână arbore de căutare)

Puteţi testa primele 5 exerciţii în acelaşi program.

Problemă întreagă

  • Să se realizeze stocul unei farmacii,știind că informațiile pentru medicamentele unei farmacii sunt:nume medicament,preț,cantitate,data primirii,data expirării.

Evidența medicamentelor se ține cu un program care are drept structură de date un arbore de căutare după nume medicament. Să se scrie programul care execută următoarele operații:

  • Creează arborele de căutare
  • Caută un nod după câmpul nume medicament și actualizează câmpurile de informare
  • Tipăreste medicamentele în ordine lexicografică
  • Elimină un nod identificat prin nume medicament
  • Creează un arbore de căutare cu medicamentele care au data de expirare mai „mică“ decât o dată specificată de la terminal
  • Determinați greutatea(fie greutatea = numărul de frunze) arborelui și verificați dacă este binar complet sau nu

Probleme de interviu

  • Se dă V(un vector de n întregi) şi P(un vector de taţi de lungime n). Verificaţi dacă se poate construi un arbore binar de căutare cu valorile din V şi legăturile copil-părinte din P.
  • Fie un arbore binar perfect cu înălţimea H. Creaţi (H + 1) vectori/liste, câte unul/una pentru fiecare nivel din arbore. Afişaţi fiecare nivel(parcurgerea în lăţime) cu ajutorul vectorilor/listelor.
  • Găsiţi cel mai apropiat strămoş comun pentru două noduri dintr-un arbore binar.
  • Se dau doi arbori binari cu întregi, A1 şi A2, iar A1 conţine mult mai multe noduri decât A2. Verificaţi dacă A2 arată la fel ca un subarbore din A1.(“Arată la fel”, adică valorile întregi sunt aceleaşi)
laboratoare/laborator-04.1489350809.txt.gz · Ultima modificare: 2017/03/12 20:33 de către mihai.iacov