Până acum, pe parcursul laboratorului de IOCLA am învățat despre cum putem efectua operații cu numere întregi, pozitive sau negative, de diverse dimensiuni. Dar cum rămâne cu numerele cu virgulă? Multe din procesoarele folosite astăzi dispun de o unitate de calcul în virgulă mobilă (Floating Point Unit - FPU), care oferă funcții de calcul pentru astfel de valori.

În acest laborator vom vedea cum putem folosi instrucțiunile puse la dispoziție de FPU pentru a efectua eficient calcule în virgulă mobilă.

Primul aspect pe care trebuie să înțelegem este cum putem să reprezentăm numerele cu virgulă în formă binară. Ca și în cazul numerelor întregi, valorile fracționare se reprezintă pe un anumit număr de biți.

Principalele obiective ale unei reprezentări pe un anumit număr de biți sunt:

• posibilitatea de a reprezenta cât mai multe valori intre valoarea minimă și valoarea maximă
• o precizie cât mai bună a valorilor (numărul maxim de cifre după virgulă)

Pentru a reprezenta valorile fracționare vom folosi Reprezentarea în virgulă mobilă (Floating Point Representation). În această reprezentare, numerele au următoarea structură:

După cum putem observa mai sus, valorile trebuie transformate astfel încât partea întreagă să fie 1. Această formă poartă numele de formă normală, iar operația de transformare în această formă poartă numele de normalizare.

În forma binară, valorile se reprezintă astfel:

Semnul este dat de primul bit din reprezentarea binară: 1 = negativ, 0 = pozitiv.
Mantisa dă partea fracționară a numărului în forma normală. Numărul de biți pe care mantisa este reprezentată dă precizia maximă a reprezentării.
Baza este de obicei 2, 10 sau 16 și este dată de standardul de reprezentare ales.
Exponentul dă valoarea la care este ridicată baza și numărul de biți pe care este reprezentat dă valorile valorile maxime și minime ce pot fi reprezentate.

Cele mai folosite standarde de reprezentare în virgulă mobilă sunt cu precizie simplă (Single Precision) și cu precizie dublă (Double Precision).

Reprezentarea cu precizie simplă presupune folosirea a 32 de biți și corespunde valorilor float din limbajul C. În acest caz baza folosită este 2, exponentul are 8 biți, iar restul de 23 de biți corespund mantisei.

Reprezentarea cu precizie dublă presupune folosirea a 64 de biți și corespunde valorilor de tip double. În acest caz, baza este 2, exponentul are 11 biți, iar restul de 52 de biți corespund mantisei.

În ambele standarde de reprezentare, valorile ce au ca exponent 0 sau valoarea maximă (255 pentru precizie simplă șu 2047 pentru precizie dublă) sunt valori speciale. Printre acestea se numără:

• Valoarea 0: toți biții (de semn, exponent și mantisă) sunt 0
• Valorile +/-infinit, ce rezultă în urma oricărei împărțiri la 0. Aceste valori se reprezintă prin mantisă 0 și exponent maxim (255 pentru precizie simplă și 2047 pentru precizie dublă).
• Valoarea NaN (not a number), ce rezultă în urma operațiilor invalide, precum 0/0 sau infinit - infinit. Această valoarea este reprezentată prin exponent maxim și mantisă diferită de 0.

În procesoarele vechi, calculele matematice erau efectuate pe un chip separat, numit coprocesor matematic care comunica cu procesorul principal. Procesoarele moderne au acest chip încorporat sub forma Floating Point Unit, care le permite să efectueze eficient calcule matematice cu numere fracționare folosind un set separat de instrucțiuni.

Unitatea de calcul în virgulă mobilă deține o stivă proprie pe care o folosește pentru a citi operanzii și a stoca rezultatele operațiilor.

De exemplu, o instrucțiune de tip adunare scoate primele două valori de pe această stivă, efectuează operația de adunare și pune rezultatul înapoi în vârful stivei. Deci, înainte de efectuarea oricărei operații va trebui să punem operanzii necesari pe stivă și, după efectuarea operației, vom obține rezultatul folosind o instrucțiune de tip pop.

Instrucțiunile fiadd, fisub, fidiv, fimul funcționează exact ca cele din tabelul de mai sus, dar primesc ca arguument o valoare întreagă de 2/4 octeți (word/dword).

Lista completă a instucțiunilor poate fi văzută aici

Mai jos este prezentat un exemplu de adunare a două numere cu virgulă, reprezentate pe 8 octeți (de tip double). Am folosit valori double pentru a putea folosi printf pentru afișare, întrucât acesta nu poate afișa valori cu precizie simplă.

%include "io.inc"
 
extern printf
 
section .data
    n1    dq    1.1
    n2    dq    4.3
    format    db     "%f", 10, 0
 
section .text
    global CMAIN
CMAIN:
    mov ebp, esp
 
    fld qword [n1]
    fadd qword [n2]
 
    sub esp, 8      ; rezervă loc pe stivă pentru rezultat, pasat ca argument funcției printf.
    fstp qword [esp]; mută rezultatul adunării în spațiul rezervat.
 
    push format
    call printf
    add esp, 12
 
    ret

Exemplul de mai jos citește o valoare de tip double de la tastatură și afișează rezultatul expresiei sin(x * pi).

%include "io.inc"
 
extern printf
extern scanf
 
section .data
    x            dq     0.0
    scan_format  db     "%lf"
    print_format db     "sin(pi * x) = %f", 10, 0
 
section .text
    global CMAIN
CMAIN:
    mov ebp, esp
 
    push x
    push scan_format
    call scanf
 
    add esp, 8
 
    fldpi
    fmul qword [x]
    fsin
 
    sub esp, 8
    fstp qword [esp]
 
    push print_format
    call printf
    add esp, 12
 
    ret

Pentru exercițiile din acest laborator vom folosi fișierele din această arhivă. Rezolvarea exercițiilor o vom face în SASM.

Pentru a îmbunătăți cursul de IOCLA, componentele sale și modul de desfășurare, ne sunt foarte utile opiniile voastre. Pentru aceasta, vă rugăm, să accesați și completați formularul de feedback de pe site-ul cs.curs.pub.ro. Trebuie să fiți autentificați și înrolați în cadrul cursului.

Formularul este anonim și este activ în perioada 4-20 ianuarie 2016. Rezultatele vor fi vizibile în cadrul echipei cursului doar după încheierea sesiunii. Găsiți formularul în partea dreaptă a paginii principale de IOCLA de pe cs.curs.pub.ro într-un frame intitulat "FEEDBACK",

Vă invităm să evaluați activitatea echipei de IOCLA și să precizați punctele tari și punctele slabe și sugestiile voastre de îmbunătățire a disciplinei. Feedback-ul vostru este foarte important pentru noi să creștem calitatea materiei în anii următori și să îmbunătățim disciplinele pe care le veți face în continuare.

Ne interesează în special:

• Ce nu v-a plăcut și ce credeți că nu a mers bine?
• De ce nu v-a plăcut și de ce credeți că nu a mers bine?
• Ce ar trebuie să facem ca lucrurile să fie plăcute și să meargă bine?

Vă mulțumim!

În fișierul suma.asm din subdirectorul ex1/ găsiți un exemplu de adunare a valorilor dintr-un vector de numere fracționare. La final, rezultatul este afișat folosind funcția printf.

Parcurgeți și înțelegeți exemplul dat. Deschideți-l folosind SASM și rulați-l.

Acum că am văzut cum putem calcula suma elementelor unui vector, ne propunem să calculăm media acestora. Pentru aceasta trebuie să calculăm mai întai suma (vă puteți inspira din exemplul anterior) și să împărțim la numărul de elemente. Urmăriți comentariile marcate cu TODO din fișierul media.asm din subdirectorul ex2/ și completați corespunzător pentru calcularea mediei vectorului de elemente vector.

În fișierul integer-div.asm din subdirectorul ex3/, completați locurile marcate cu TODO pentru a efectua împărțirea numerelor întregi n1 și n2, iar rezultatul să fie un număr fracționar. La final, afișați rezultatul.

Completați secțiunile marcate cu TODO din fișierul extract.asm din subdirectorul ex4/, pentru a extrage partea întreagă și partea fracționară a numărului fracționar n.

Similar cu exercițiul 2, ne propunem să calculăm media unui vector de elemente, dar în acest caz valorile sunt întregi. Rezultatul trebuie, bineînțeles, să fie fracționar. Completați locurile marcate cu TODO din fișierul media-int.asm, directorul ex5.

Completați fișierul max.asm din subdirectorul ex6/ pentru a afla valoarea maximă din vector. Parcurgerea elementelor și comparația cu valoarea maximă este implementată. Urmăriți comentariile ce conțin TODO.

În fișierul arcsin.asm din subdirectorul ex7/, calculați valoarea unghiului pentru care funcția sin întoarce valoarea din variabila valoare_sin.

Pentru rezolvare veți căuta în intervalul [0, pi/2], folosind metoda bisecției: la fiecare pas calculați valoarea funcției sin în valoarea de la jumătatea intervalului și alegeți jumătatea de interval în care se găsește valoarea căutată (funcția este crescătoare pe intervalul [0, pi/2]). Algoritmul se va opri atunci când eroarea este mai mică decât 0.0005 (diferența între valoarea obținută și valoarea căutată).