Unelte utilizator

Unelte site


laboratoare:laborator-08

Diferențe

Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.

Link către această vizualizare comparativă

Ambele părți revizuirea anterioară Versiuni anterioare
Urmatoarea versiune
Versiuni anterioare
laboratoare:laborator-08 [2017/02/23 13:40]
mihai.iacov [3.1 Quick sort]
laboratoare:laborator-08 [2018/04/23 22:48] (curent)
mihai.iacov [7.Referințe]
Linia 1: Linia 1:
-====== Laborator 08: Algoritmi de sortare 1 ======+====== Laborator 08: Drumuri de cost minim ======
  
-=====1. Obiectivele laboratorului=====+===== 1.Obiective laborator =====
 +  * Înțelegerea ideii de cost și de drum minim într-un graf 
 +  * Prezentarea algoritmilor care calculează drumul de cost minim 
 +  * Înțelegerea aplicațiilor practice prezente în: 
 +    * găsirea drumului minim între 2 locații (ex: GPS) 
 +    * rutarea în cazul rețelelor de calculatoare (ex: protocolul RIP)
  
-Propunem studierea următorilor algoritmi de sortare+{{ :laboratoare:rip.gif?600 | RIP protocol}} 
- * Bubble Sort +===== 2.Considerente teoretice ======
- * Selection Sort +
- * Insertion Sort +
- * Merge Sort +
- * Quick Sort+
  
-=====2. Introducere===== 
  
-====2.1 Caracterizarea unui algoritm====+==== 2.1 Costul unei muchii ==== 
 +La fel ca la arbori de acoperire, presupunem că fiecare muchie are un **cost de parcurgere**.
  
-Numim **sortare** orice aşezare(sau - mai clar - **reaşezare**) a unor elemente date în aşa fel încâtdupă aşezaresă existe o  **ordine completă** în funcţie de un atribut(numit **cheie**al elementelor.+==== 2.2 Costul unui drum; drumul de cost minim ==== 
 +Într-un graf, orice drum este definit de o succesiune de muchii (cu proprietatea căpentru oricare două muchii consecutive din succesiunenodul destinaţie/de sosire al primei muchii este acelaşi cu nodul sursa/de plecare al celei de-a doua muchii).
  
-Pentru a exista o **ordine completă**, trebuie să alegem o **relaţie** pe care vrem sa o impunem. Dacă relaţia este valabilă între **oricare două elemente** pentru care **primul** element **este** aşezat **la stânga** celui de-al doilea, atunci avem o **ordine completă**.+Costul unui drum va fi definit ca **suma costurilor** muchiilor ce compun acel drum.
  
-Exemplu: dacă alegem drept cheie un atribut **număr întreg** şi relaţia **mai mic sau egal**(<=), obţinem **ordinea crescătoare**.+Fie un nod sursă(S) şi un nod destinaţie(D). Pot exista mai multe drumuri de la S la D(drumuri care au S primul nod, D = ultimul nod), iar drumul de cost minim de la S la D va fi cel mai ieftin(cu costul cel mai mic) dintre acestea.
  
-Vom descrie un algoritm de sortare prin: +<note important>Pot exista mai multe drumuri de cost minim de la la D.</note>
- *timp mediu - timpul de execuţie la care ne aşteptăm, **în medie**, pentru sortare +
- *timp la limită- timpul de execuţie pentru **cel mai rău** caz posibil +
- *memorie - memoria **maximă** de care are nevoie algoritmul pentru sortare(**excludem memoria deja alocată** înainte de algoritm -vectorul efectiv ce va fi sortat) +
- *stabilitate - un algoritm stabil păstrează ordinea în care apar două elemente cu aceeaşi cheie(atributul după care sortăm)+
  
-Folosim notaţia O(n) pentru a indica+====2.3 Legătura muchii-arce==== 
- *un număr de operaţii de ordinul lui n. În acest caz, spunem că avem "**complexitate de timp de ordinul lui n**+<note tip> 
- *o dimensiune de ordinul n pentru memoria alocată. În acest caz, spunem că avem "**complexitate de spaţiu de ordinul lui n**"+Orice graf **neorientat** este echivalent cu un graf **orientat** dacă înlocuim fiecare **muchie** cu **două arce**(de acelaşi cost, câte un arc pentru fiecare sens).
  
 +Algoritmii următori pot fi folosiţi(în limita observaţiilor finale) pe grafuri orientate la fel ca pe grafuri neorientate.
 +</note>
  
-====2.2 Metodele de sortare folosite==== 
  
-Fiecare algoritm se bazează pe o metodă de sortare: +===== 3.Drumul de cost minim cu sursă unică ====== 
- *Bubble sort - interschimbare +Următorii algoritmi caută drumurile de cost minim de la **un singur nod(sursă)** la **toate celelalte noduri**. Rezultatul acestor algoritmi este un **arbore cu drumuri de cost minim**, unde: 
- *Selection sort - selecţie +  nodul sursă(S) este rădăcina arborelui; 
- *Insertion sort - inserare +  toate nodurile din graf sunt în arbore; 
- *Merge sort - interclasare +  pentru orice nod destinaţie(D), costul drumului din arbore de la rădăcina S la D este drum de cost minim(de la S la D) în graf.
- *Quick sort - partiţionare+
  
  
-=====3. Algoritmii=====+==== 3.1 Algoritmul lui Dijkstra ====
  
-====3.1 Bubble sort====+Algoritmul lui Dijkstra se bazează pe un principiu similar cu cel al algoritmului lui Prim: 
 +  * iniţial, toate nodurile sunt neexplorate şi vom construi arborele, începând de la nodul S; 
 +  * atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul **infinit**); 
 +  * la fiecare pas, alegem cel mai bun candidat dintre nodurile neexplorate, urmând să îl explorăm(să îi evaluăm vecinii), iar acel candidat va rămâne în arbore; 
 +  * la fiecare explorare(evaluare a vecinilor), dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţa muchiilor folosite, actualizăm şi nodul părinte al vecinului respectiv.
  
-  * timp mediuO(N^2) +Diferenţa apare, în algoritmul lui Dijkstra, la funcţia folosită pentru estimarea costurilor, atunci când evaluăm vecinii unui nod
-  * timp la limită: O(N^2+  * Dacă C este nodul curent(pe care îl explorăm), atunci: 
-  * memorie: O(1) +  * pentru fiecare nod vecin(Val lui C, noul cost posibil va fi costul drumului S-V(de la S la V) care trece prin C, mai exact - suma dintre costul drumului S-C şi costul muchiei (C,V).
-  * Stabil: DA+
  
-===Descriere :=== +<note tip>Construind astfel algoritmul, este **garantat** că, în momentul în care explorăm un nod(C), estimarea pentru costul drumului S-C este chiar **costul minim**.</note>
-Sortarea prin metoda bulelor se consideră drept una din cele mai puţin efective metode de +
-sortaredar cu un algoritm mai simplu.+
  
- *Ideea de bază a sortării prin metoda bulelor este în a parcurge tabloulde la stânga spre dreapta+<note important> 
-fiind comparate elementele alăturate **a[i] si a[i+1]**Dacă vor fi găsite elemente neordonate, +Pentru grafuri orientate, ne referim la vecinii la care putem ajunge printr-un arc ce pleacă din C: (C,V). 
-valorile lor vor fi interschimbate+</note> 
- *Parcurgerea tabloului de la stânga spre dreapta se va repeta atât timp cât vor fi întâlnite +Paşii algoritmului lui Dijkstra: 
-elemente neordonate.+<code> 
 +1. Declarăm două mulţimi: 
 + mulţimea nodurilor neexplorate(MN), iniţial MN conţine toate nodurile; 
 + mulţimea nodurilor explorate(ME) ce compun arborele, iniţial ME = vidă; 
 +2. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: 
 + 0 pentru nodul sursă(S); 
 + infinit pentru toate celelalte; 
 +3. Cât timp există noduri în MN 
 + 1. Alegemdin MN(nodurile neexplorate)nodul cu cel mai mic cost estimat 
 +  îl numim C(nodul curent) 
 + 2. pentru fiecare din vecinii lui C care se află în MN  
 + 3. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-C) cost(muchia (C,V)); 
 + 4comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-V): 
 + dacă noul cost e mai bun 
 + 1. actualizăm cost(drumul S-V) = noul cost; 
 + 2. actualizăm parinte(V) = C; (pentru păstrarea muchiei folosite) 
 +  altfel păstrăm vechiul cost 
 + 5. Marcăm nodul C ca explorat: îl eliminăm din MN şi îl adăugăm în ME
 +  (Nu va mai fi verificat) 
 +</code>
  
-===Implementare :=== +==== 3.2 Algoritmul Bellman-Ford ==== 
-<file cpp> +Principii similare pentru algoritmul Bellman-Ford: 
-//sortare descrescatoare +  * vom construi arborele, începând de la nodul S; 
-void bubble(int a[],int n) +  * atribuim un posibil cost(o estimare distanţeipentru fiecare nod. (iniţialS are costul 0toate celelalte noduri au costul **infinit**)
-+  * la fiecare evaluare, dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţmuchiilor folosite, actualizăm şnodul părinte. 
- int i,schimbat,aux+  * funcţia de estimare costului este definită la fel ca la algoritmul lui Dijkstra(costul drumului de la S la nodul respectiv)
- do +
-+
- schimbat = 0; +
- for(i = 0; i < n-1; i++) //parcurgem vectorul +
- if(a[i] < a[i+1]) //daca valoarea i din vectorul a este +
- //mai mica decat cea de pe pozitia i+1 +
- { //interschimbare +
- aux = a[i]; +
- a[i] = a[i+1]; +
- a[i+1] = aux; +
- schimbat = 1; +
-+
- }while(schimbat)+
-+
-</file>+
  
-====3.2 Selection sort====+<note tip>Rezultatul algoritmului va fi un arbore cu N noduri(unde N |V|, numărul de noduri din graf)Prin urmare, **lungimea** oricărui drum de la S la alt nod va fi **maxim N-1**. (Presupunem că nu se repetă muchii) 
 +</note>
  
-  * timp mediuO(N^2) +Diferenţa apare, în algoritmul Bellman-Ford, la alegerea nodurilor pentru care facem evaluarea
-  * timp la limită: O(N^2) +  * Algoritmul nu are preferinţe pentru anumite noduri şi nu extrage, la fiecare pas, cel mai bun candidat. 
-  * memorie: O(1) +  * În schimb, acest algoritm evaluează **toate muchiile** la un pas. Folosindu-se de principiul de mai sus, (N-1) astfel de paşi vor fi suficienţi.
-  * Stabil: DA+
  
-===Descriere :=== +<note important> 
-Acest algoritm selectează, la fiecare pas i, cel mai mic element din vectorul nesortat(de la poziţia +În cazul grafurilor neorientate, evaluăfiecare muchie în ambele sensuri
-i până la n).Valoarea minimă găsită la pasul i este pusă în vector la poziţia i,facându-se +</note>
-intereschimbarea cu poziţia actuală a minimului.Nu este un algoritm indicat pentru vectorii +
-mari, în majoritatea cazurilor oferind rezultate mai slabe decât **insertion sort** şi **bubble sort**.+
  
-===Implementare :=== +Paşii algoritmului Bellman-Ford
-<file cpp+<code
-void selectionSort(int a[],int n+1. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: 
-+ 0 pentru nodul sursă(S); 
- int i,j,aux,min,minPoz+ infinit pentru toate celelalte
- for(i = 0; i < n - 1;i++) +2. Executăm de N-1 ori: 
-+ 1. Pentru fiecare pereche (u, va.i. există muchie de la u la v 
- minPoz = i; + 1. calculăm noua estimare de cost cost(drumul S-u) cost(muchia (u,v))
- min a[i]; + 2. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-v): 
- for(j = i 1;j < n;j++) //selectam minimul + dacă noul cost e mai bun 
- //din vectorul ramasde la i+1 la n+ 1. actualizăm cost(drumul S-v) = noul cost
- { + 2. actualizăm parinte(v) u(pentru păstrarea muchiei folosite) 
- if(min > a[j]//sortare crescatoare + altfel păstrăm vechiul cost 
-+</code>
- minPoz j; //pozitia elementului minim +
- min = a[j]+
- +
-+
- aux a[i] +
- a[i] = a[minPoz]; //interschimbare +
- a[minPoz] = aux; +
-+
-} +
-</file>+
  
-====3.3 Insertion sort====+===== 4.Drumul de cost minim între oricare 2 noduri ====== 
 +Următorul algoritm caută cel mai scurt drum de la **orice nod sursă(S)** la **fiecare nod destinaţie(D)**.
  
-  * timp mediu: O(N^2) 
-  * timp la limită: O(N^2) 
-  * memorie: O(1) 
-  * Stabil: DA 
  
-===Descriere :=== +==== 4.1 Algoritmul Floyd-Warshall ==== 
-Spre deosebire de alţi algoritmi de sortaresortarea prin inserţie este folosită destul de des +Rezultatul algoritmului este o matrice N x N(unde N = |V|, numărul de noduri)iar valorea din matrice de la poziţia [i][j] va fi costul minim pentru drumul i-jFie această matrice numită **dist**.
-pentru sortarea tablourilor cu **număr mic de elemente**. De exemplupoate fi folosit pentru +
-îmbunătăţi rutina de sortare rapidă. +
- *Sortarea prin inserţie seamană oarecum cu sortarea prin selecţie. Tabloul este împărţit +
-imaginar în două părţi - o parte sortată şi o parte nesortatăLa început, partea sortată conţine +
-primul element al tabloului şi partea nesortată conţine restul tabloului.  +
- *La fiecare pas, algoritmul ia primul element din partea nesortată şi il inserează în locul potrivit al părţii sortate. +
- *Când partea nesortată nu mai are nici un element, algoritmul se opreste.+
  
-===Implementare :=== +Pentru simplitate, algoritmul numerotează nodurile de la 1 la N şi foloseşte următoarea construcţie
-<file cpp> +  * defineşte o funcţie costMinim(i,j,k) = cel mai ieftin drum care: 
-void insertionSort(int a[], int n) +     -pleacă din 
-+     -ajunge în 
-    int i, j, aux; +     -în afară de primul şi de ultimul nod, conţine numai noduri din {1,2,3,...,k}(primele k noduri).
-    for (= 1; i < n; i++) +
-    +
-        = i; +
-        while (j > 0 && a[j 1] > a[j]) +
-        //cautam pozitia pe care sa mutam a[i] +
-            aux = a[j]; //interschimbare +
-            a[j] = a[j - 1]; +
-            a[j--] = aux; +
-        } +
-    } +
-+
-</file>+
  
-====3.4 Merge sort====+Algoritmul calculează costMinim(i,j,k) pentru toate perechile (i,j,k), folosind formula: **costMin(i,j,k+1) min(costMin(i,j,k), costMin(i,k+1,k) + costMin(k+1,j,k))**;
  
-  * timp mediuO(N log N) +<note tip> 
-  * timp la limită: O(N log N+Observaţii
-  * memorie: O(N) +  * costMin(i,j,0) = costMuchie(i,j) (dacă există muchie de la i la j) sau infinit(altfel); 
-  * Stabil: DA+  * costMin(i,j,N) = drumul de cost minim de la i la j.
  
-Descriere : +</note>
-In cazul sortarii prin interclasare vectorii care se interclaseaza sunt doua secvente ordonate +
-din acelasi vector. +
-Sortarea prin interclasare utilizeaza metoda Divide et Impera: +
-- se imparte vectorul in secvente din ce in ce mai mici., astfel incat fiecare secventa sa fie +
-ordonata la un moment dat si interclasata cu o alta secventa din vector corespunzatoare. +
-- practic interclasarea va incepe cand se ajunge la o secventa formata din doua elemente. +
-Aceasta odata ordonata se va interclasa cu o alta corespunzatoare. Cele doua secvente vor +
-alcatui in subsir ordonat din vector mai mare care la randul lui se va interclasa cu subsirul +
-corespunzator s.a.m.d. +
-Implementare : +
-<file cpp> +
-void mergeSort(int a[],int st, int m, int dr) +
-+
-    int b[100]; +
-    int i, j, k; +
-    i = 0; j = st; +
-    // copiem prima jumatate a vectorului a in b +
-    while (j <= m) +
-        b[i++] = a[j++]; +
-    i = 0; k = st; +
-    // copiem inapoi cel mai mare element la fiecare pas +
-    while (k < j && j <= dr) +
-        if (b[i] <= a[j]) +
-            a[k++] = b[i++]; +
-        else +
-            a[k++] = a[j++]; +
-    // copiem elementele ramase daca mai exista +
-    while (k < j) +
-        a[k++] = b[i++]; +
-+
-void merge(int a[],int st, int dr) +
-+
-    if (st < dr) +
-    { +
-        int m = (st+dr)/2; +
-        merge(a,st, m); +
-        merge(a,m+1, dr); +
-        mergeSort(a,st, m, dr); +
-    } +
-+
-</file>+
  
-====3.5 Quick sort====+Paşii algoritmului Floyd-Warshall:
  
-  * timp mediuO(log N) +<code> 
-  * timp la limită: O(N^2+1. Declarăm matricile: 
-  * memorie: O(log N) + dist, matrice şi o iniţializăm dist[i][j] = infinit, pentru orice i şi j 
-  * StabilNU+ next, matrice N x N în care vom salva prima muchie din drumul i-j de cost minim 
 + //next este necesar doar în cazul în care ne interesează muchiile folosite 
 +//pasul k = 0 
 +2. Pentru fiecare nod v 
 + 1. dist[v][v] = 0; 
 +3. Pentru fiecare pereche (u,v) a.i. există muchie de la u la v 
 + 1. dist[u][v] = costMuchie(u,v); 
 + 2. next[u][v] = v; //pentru urmărirea muchiilor ce compun drumul 
 +//am terminat pasul k = 0 
 +4. Pentru fiecare pas k (de la 1 la N) 
 + 1. Pentru fiecare nod i (de la 1 la N) 
 + 1. Pentru fiecare nod j (de la 1 la N) 
 + 1. calculăm costul nou = dist[i][k] + dist[k][j]; 
 + 2. comparăm costul nou cu costul vechi = dist[i][j] 
 + dacă e mai bun costul nou: 
 + 1. dist[i][j] = costul nou; 
 + 2. next[i][j] = next[i][k]; //pentru urmărirea muchiilor 
 + altfel păstrăm costul vechi 
 +</code>
  
-===Descriere :=== +Pentru obţinerea nodurilor ce formează drumul de cost minim de la u la v, putem folosi următoarea secvenţă
-Quick Sort este unul dintre cei mai rapizi si mai utilizati algoritmi de sortare pana in acest +<code> 
-moment,bazandu`se pe tehnica "divide et impera".Desi cazul cel mai nefavorabil este O(N^2+funcţie afişareDrum(uv) 
-,in practica,QuickSort ofera rezultate mai bune decat restul algoritmilor de sortare din clasa +1dacă u == v 
-"O(N log N)".+ 1. print(v); STOP 
 +2. print(u)
 +3afişareDrum(next[u][v], v); 
 +</code>
  
-===Implementare :=== +===== 5. Observaţii finale ====== 
-<file cpp+<note tip
-void qSort(int a[],int st,int dr) +Cei 3 algoritmi funcţionează bine atunci când **toate muchiile** au **cost pozitiv**. 
-{ +</note> 
-    int temp,min,max,mijl; +<note warning> 
-    mijl a[st+(dr-st)/2]; //luam mijlocul intervalului +Drumul de cost minim **NU** este bine definit atunci când există **cicluri cu cost negativ**. 
-    min = st; max = dr; +  * putem ajunge de la un nod la acelaşi nod, folosind acelaşi ciclu de oricâte ori => costMinim = -infinit); 
-    do +  * în aceste cazuri, nu putem pune problema găsirii drumurilor de cost minim. 
-    { + 
-        while(a[min] mijl) min++; +</note> 
-        while(a[max] mijl) max--+<note warning> 
-        if(min <= max) //interschimbare +O **muchie cu cost negativ** este echivalentă cu **2 arce cu cost negativ** şi implică existenţa unui ciclu cu cost negativ. 
-        { +</note> 
-            temp = a[min]; +<note tip> 
-            a[min++] a[max]; +Algoritmii **Bellman-Ford** şi **Floyd-Warshall** pot detecta dacă un graf conţine **cicluri cu cost negativ**: 
-            a[max--] = temp; +  * Bellman-Ford: executăm încă o evaluare tuturor muchiilor la final. Dacă găsim cel puţin o estimare nouă mai buna, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ. 
-        } +  * Floyd-Warshall: putem verifica, la fiecare pas, dacă avem o valoare negativă pe diagonala matricei dist. Dacă găsim cel puţin o valoare negativă, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ. 
-    }while(min <max); //la fiecare pas sortam "mai bine" intervalul st-dr + 
-    //cand numai avem ce face schimbam intervalul +</note> 
-    if(st < maxqSort(a,st,max)//crescator +<note important> 
-    if(dr > minqSort(a,min,dr)//crescator +Pentru algoritmul lui **Dijkstra**, "garanţia" se pierde când există chiar şi **un singur arc cu cost negativ**. 
-} +  * Algoritmul se bazează pe ideea că, odată explorat un nod, drumul de cost minim până la acel nod fost găsit, ceea ce **NU** este mereu corect în prezenţa unui arc cu cost negativ. 
-</file>+  * De aceea, algoritmul poate produce răspunsuri **greşite** în acest caz. 
 + 
 +</note> 
 +<note tip>În schimb, algoritmii **Bellman-Ford** şi **Floyd-Warshall** funcţionează pe grafurile cu **arce cu cost negativ**, atâta timp cât drumurile de cost minim sunt bine definite(**fără cicluri cu cost negativ**)
 +</note> 
 + 
 +===== 6. Exerciții laborator ====== 
 + 
 +  - Daţi un exemplu de graf orientat cu un singur arc cu cost negativ pentru care algoritmul lui Dijkstra dă rezultate greşite. 
 +  - Cum putem folosi algoritmul lui Dijkstra sau algoritmul Bellman-Ford pentru obţine aceleaşi rezultate ca algoritmul Floyd-Warshall(drumul de cost minim pentru toate perechile de noduri)? Ne limităm la grafurile pe care merg toţi cei trei algoritmi. 
 +  - Implementaţi unul din algoritmi pentru calcula drumurile de cost minim de la un nod sursă la toate celelalte noduri într-un graf cu toate muchiile/arcele cu cost pozitiv. 
 +  - Verificaţi dacă un graf conţine cicluri negative. 
 + 
 +====6.1. Exerciții - schelet de laborator===
 +Pentru acest laborator puteți descărca scheletul de cod de [[http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab7_drumuri_minime-skel.zip|aici]]. Descărcați arhiva și dezarhivați-o.  
 + 
 +=== Linux=== 
 +Puteti folosi utilitarul ''%%wget%%'' pentru descarcare si utilitarul ''%%unzip%%'' pentru dezarhivare. 
 + 
 +  * ''%%wget http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab7_drumuri_minime-skel.zip%%'' 
 +  * ''%%unzip lab7_drumuri_minime-skel.zip%%'' 
 + 
 +Pentru compilare folositi comanda ''%%make%%''. Pentru rulare puteti folosi comanda ''%%make run%%'' sau ''%%./graph%%''
 + 
 + 
 +===Extra=== 
 + 
 +  - Se dă un graf pentru care se cunoaşte drumul de cost minim de la un nod sursă(Sla un nod destinaţie(D). Dacă adăugăm 100 la costul fiecărei muchiise modifică drumul de cost minim? (dacă dadaţi un exempludacă nu, explicaţi de ce). 
 +  - Aceeaşi întrebare dacă înmulţim fiecare cost cu 100. 
 +  - Cum găsiţi(mai rapid decât cu cei 3 algoritmi prezentaţidrumul de cost minim de la S la D într-un graf în care toate muchiile au acelaşi cost(1)? Cum adaptaţi soluţia în cazul în care toate muchiile au costul 1 sau 2? 
 +  - Daţi un exemplu în care folosirea algoritmului lui Dijkstra(pentru obţine drumul de cost minim pentru toate perechile de noduriar fi mai rapidă decât algoritmul Floyd-Warshall. 
 + 
 + 
 +===== 7.Referințe ====== 
 +    - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm|Algoritmul lui Dijkstra]] 
 +    - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm|Algoritmul lui Bellman Ford]] 
 +    - [[http://www.algorithmist.com/index.php/Floyd-Warshall's_Algorithm|Algoritmul lui Floyd-Warshall]] 
 +    - [[https://profs.info.uaic.ro/~busaco/teach/courses/net/docs/protocoale_rutare.pdf|Protocoale de rutare]]
  
laboratoare/laborator-08.1487850035.txt.gz · Ultima modificare: 2017/02/23 13:40 de către mihai.iacov