Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.
Ambele părți revizuirea anterioară Versiuni anterioare Urmatoarea versiune | Versiuni anterioare Ultima versiune Ambele părți următoarea reviziune | ||
laboratoare:laborator-08 [2017/04/19 22:48] iulian.matesica [3.1 Bubble sort] |
laboratoare:laborator-08 [2018/02/25 22:45] mihai.iacov |
||
---|---|---|---|
Linia 1: | Linia 1: | ||
- | ====== Laborator 08: Algoritmi | + | ====== Laborator 08: Drumuri |
- | =====1. | + | ===== 1.Obiective laborator |
+ | * Înțelegerea ideii de cost și de drum minim într-un graf | ||
+ | * Prezentarea algoritmilor care calculează drumul de cost minim | ||
+ | * Înțelegerea aplicațiilor practice prezente în: | ||
+ | * găsirea drumului minim între 2 locații (ex: GPS) | ||
+ | * rutarea în cazul rețelelor de calculatoare (ex: protocolul RIP) | ||
- | Propunem studierea următorilor algoritmi de sortare: | + | {{ :laboratoare: |
- | * Bubble Sort | + | ===== 2.Considerente teoretice ====== |
- | * Selection Sort | + | |
- | * Insertion Sort | + | |
- | * Merge Sort | + | |
- | * Quick Sort | + | |
- | =====2. Introducere===== | ||
- | ====2.1 | + | ==== 2.1 Costul unei muchii |
+ | La fel ca la arbori de acoperire, presupunem că fiecare muchie are un **cost de parcurgere**. | ||
- | Numim **sortare** | + | ==== 2.2 Costul unui drum; drumul de cost minim ==== |
+ | Într-un graf, orice drum este definit de o succesiune de muchii | ||
- | Pentru a exista o **ordine completă**, | + | Costul unui drum va fi definit ca **suma costurilor** muchiilor ce compun acel drum. |
- | Exemplu: dacă alegem drept cheie un atribut **număr întreg** | + | Fie un nod sursă(S) şi un nod destinaţie(D). Pot exista |
- | Vom descrie un algoritm | + | <note important> |
- | *timp mediu - timpul | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | Folosim notaţia O(n) pentru a indica: | + | ====2.3 Legătura muchii-arce: ==== |
- | | + | <note tip> |
- | *o dimensiune de ordinul lui n pentru memoria alocată. În acest caz, spunem că avem "**complexitate | + | Orice graf **neorientat** este echivalent cu un graf **orientat** dacă înlocuim fiecare |
+ | Algoritmii următori pot fi folosiţi(în limita observaţiilor finale) pe grafuri orientate la fel ca pe grafuri neorientate. | ||
+ | </ | ||
- | ====2.2 Metodele de sortare folosite==== | ||
- | Fiecare algoritm se bazează pe o metodă de sortare: | + | ===== 3.Drumul de cost minim cu sursă unică ====== |
- | *Bubble sort - interschimbare | + | Următorii algoritmi caută drumurile de cost minim de la **un singur nod(sursă)** la **toate celelalte noduri**. Rezultatul acestor algoritmi este un **arbore cu drumuri de cost minim**, unde: |
- | *Selection sort - selecţie | + | * nodul sursă(S) este rădăcina arborelui; |
- | *Insertion sort - inserare | + | * toate nodurile din graf sunt în arbore; |
- | *Merge sort - interclasare | + | * pentru orice nod destinaţie(D), costul drumului din arbore de la rădăcina S la D este drum de cost minim(de la S la D) în graf. |
- | *Quick sort - partiţionare | + | |
- | =====3. | + | ==== 3.1 Algoritmul lui Dijkstra |
- | ====3.1 Bubble sort==== | + | Algoritmul lui Dijkstra se bazează pe un principiu similar cu cel al algoritmului lui Prim: |
+ | * iniţial, toate nodurile sunt neexplorate şi vom construi arborele, începând de la nodul S; | ||
+ | * atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul **infinit**); | ||
+ | * la fiecare pas, alegem cel mai bun candidat dintre nodurile neexplorate, | ||
+ | * la fiecare explorare(evaluare a vecinilor), dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, | ||
- | * timp mediu: O(N^2) | + | Diferenţa apare, în algoritmul lui Dijkstra, la funcţia folosită pentru estimarea costurilor, atunci când evaluăm vecinii unui nod: |
- | * timp la limită: O(N^2) | + | * Dacă C este nodul curent(pe care îl explorăm), atunci: |
- | * memorie: O(1) | + | * pentru fiecare nod vecin(V) al lui C, noul cost posibil va fi costul drumului S-V(de la S la V) care trece prin C, mai exact - suma dintre costul drumului S-C şi costul muchiei (C,V). |
- | * Stabil: DA | + | |
- | ===Descriere :=== | + | <note tip> |
- | Sortarea prin metoda bulelor se consideră drept una din cele mai puţin efective metode de | + | |
- | sortare, dar cu un algoritm mai simplu. | + | |
- | | + | <note important> |
- | fiind comparate elementele alăturate **a[i] si a[i+1]**. Dacă vor fi găsite 2 elemente neordonate, | + | Pentru grafuri orientate, ne referim la vecinii la care putem ajunge printr-un arc ce pleacă din C: (C,V). |
- | valorile lor vor fi interschimbate. | + | </ |
- | *Parcurgerea tabloului de la stânga spre dreapta se va repeta atât timp cât vor fi întâlnite | + | Paşii algoritmului lui Dijkstra: |
- | elemente neordonate. | + | < |
+ | 1. Declarăm două mulţimi: | ||
+ | mulţimea nodurilor neexplorate(MN), | ||
+ | mulţimea nodurilor explorate(ME) ce compun arborele, iniţial ME = vidă; | ||
+ | 2. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: | ||
+ | 0 pentru nodul sursă(S); | ||
+ | infinit pentru toate celelalte; | ||
+ | 3. Cât timp există noduri | ||
+ | 1. Alegem, din MN(nodurile neexplorate), nodul cu cel mai mic cost estimat | ||
+ | îl numim C(nodul curent) | ||
+ | 2. pentru fiecare din vecinii lui C care se află în MN | ||
+ | 3. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-C) + cost(muchia (C,V)); | ||
+ | 4. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-V): | ||
+ | dacă noul cost e mai bun | ||
+ | 1. actualizăm cost(drumul S-V) = noul cost; | ||
+ | 2. actualizăm parinte(V) = C; (pentru păstrarea muchiei folosite) | ||
+ | | ||
+ | 5. Marcăm nodul C ca explorat: îl eliminăm din MN şi îl adăugăm în ME. | ||
+ | | ||
+ | </ | ||
- | {{ : | + | ==== 3.2 Algoritmul Bellman-Ford ==== |
+ | Principii similare pentru algoritmul Bellman-Ford: | ||
+ | * vom construi arborele, începând de la nodul S; | ||
+ | * atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul **infinit**); | ||
+ | * la fiecare evaluare, dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, | ||
+ | * funcţia de estimare a costului este definită la fel ca la algoritmul lui Dijkstra(costul drumului de la S la nodul respectiv) | ||
- | ===Implementare :=== | + | <note tip>Rezultatul algoritmului va fi un arbore cu N noduri(unde N = |V|, numărul de noduri din graf). Prin urmare, **lungimea** oricărui drum de la S la alt nod va fi **maxim N-1**. (Presupunem că nu se repetă muchii) |
- | <file cpp> | + | </note> |
- | //sortare descrescatoare | + | |
- | void bubble(int a[],int n) | + | |
- | { | + | |
- | int i,schimbat, | + | |
- | do | + | |
- | { | + | |
- | schimbat = 0; | + | |
- | for(i = 0; i < n-1; i++) //parcurgem vectorul | + | |
- | if(a[i] < a[i+1]) //daca valoarea i din vectorul a este | + | |
- | //mai mica decat cea de pe pozitia i+1 | + | |
- | { // | + | |
- | aux = a[i]; | + | |
- | a[i] = a[i+1]; | + | |
- | a[i+1] = aux; | + | |
- | schimbat = 1; | + | |
- | } | + | |
- | }while(schimbat); | + | |
- | } | + | |
- | </file> | + | |
- | ====3.2 Selection sort==== | + | Diferenţa apare, în algoritmul Bellman-Ford, |
+ | * Algoritmul nu are preferinţe pentru anumite noduri şi nu extrage, la fiecare pas, cel mai bun candidat. | ||
+ | * În schimb, acest algoritm evaluează **toate muchiile** la un pas. Folosindu-se de principiul de mai sus, (N-1) astfel de paşi vor fi suficienţi. | ||
- | * timp mediu: O(N^2) | + | <note important> |
- | * timp la limită: O(N^2) | + | În cazul grafurilor neorientate, |
- | * memorie: O(1) | + | </ |
- | * Stabil: DA | + | |
- | ===Descriere | + | Paşii algoritmului Bellman-Ford: |
- | Acest algoritm selectează, la fiecare pas i, cel mai mic element din vectorul nesortat(de la poziţia | + | < |
- | i până la n).Valoarea minimă găsită la pasul i este pusă în vector | + | 1. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: |
- | intereschimbarea | + | 0 pentru nodul sursă(S); |
- | mari, în majoritatea cazurilor oferind rezultate mai slabe decât **insertion sort** şi **bubble sort**. | + | infinit pentru toate celelalte; |
+ | 2. Executăm de N-1 ori: | ||
+ | 1. Pentru fiecare pereche (u, v) a.i. există muchie de la u la v | ||
+ | 1. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-u) + cost(muchia (u,v)); | ||
+ | 2. comparăm noua estimare | ||
+ | dacă noul cost e mai bun | ||
+ | 1. actualizăm cost(drumul S-v) = noul cost; | ||
+ | 2. actualizăm parinte(v) = u; (pentru păstrarea muchiei folosite) | ||
+ | altfel păstrăm vechiul cost | ||
+ | </ | ||
- | ===Implementare :=== | + | ===== 4.Drumul de cost minim între oricare 2 noduri |
- | <file cpp> | + | Următorul algoritm caută cel mai scurt drum de la **orice nod sursă(S)** |
- | void selectionSort(int a[],int n) | + | |
- | { | + | |
- | int i, | + | |
- | for(i | + | |
- | { | + | |
- | minPoz | + | |
- | min = a[i]; | + | |
- | for(j | + | |
- | //din vectorul ramas( | + | |
- | { | + | |
- | if(min > a[j]) //sortare crescatoare | + | |
- | { | + | |
- | minPoz = j; //pozitia elementului minim | + | |
- | min = a[j]; | + | |
- | } | + | |
- | } | + | |
- | aux = a[i] ; | + | |
- | a[i] = a[minPoz]; // | + | |
- | a[minPoz] = aux; | + | |
- | } | + | |
- | } | + | |
- | </ | + | |
- | ====3.3 Insertion sort==== | ||
- | * timp mediu: O(N^2) | + | ==== 4.1 Algoritmul Floyd-Warshall ==== |
- | * timp la limită: O(N^2) | + | Rezultatul algoritmului este o matrice N x N(unde N = |V|, numărul de noduri), iar valorea din matrice de la poziţia [i][j] va fi costul minim pentru drumul i-j. Fie această matrice numită **dist**. |
- | | + | |
- | | + | |
- | ===Descriere :=== | + | Pentru simplitate, algoritmul numerotează nodurile |
- | Spre deosebire | + | * defineşte o funcţie costMinim(i,j,k) = cel mai ieftin drum care: |
- | pentru sortarea tablourilor cu **număr mic de elemente**. De exemplu, poate fi folosit pentru a | + | |
- | îmbunătăţi rutina de sortare rapidă. | + | * |
- | *Sortarea prin inserţie seamană oarecum cu sortarea prin selecţie. Tabloul este împărţit | + | |
- | imaginar | + | |
- | primul element al tabloului şi partea nesortată conţine restul tabloului. | + | |
- | *La fiecare pas, algoritmul ia primul element din partea nesortată şi il inserează în locul potrivit al părţii sortate. | + | |
- | | + | |
- | ===Implementare :=== | + | Algoritmul calculează costMinim(i,j,k) pentru toate perechile (i,j,k), folosind formula: **costMin(i,j,k+1) = min(costMin(i,j,k), costMin(i,k+1,k) + costMin(k+1, |
- | <file cpp> | + | |
- | void insertionSort(int a[], int n) | + | |
- | { | + | |
- | int i, j, aux; | + | |
- | for (i = 1; i < n; i++) | + | |
- | { | + | |
- | j = i; | + | |
- | while (j > 0 && a[j - 1] > a[j]) | + | |
- | { //cautam pozitia pe care sa mutam a[i] | + | |
- | aux = a[j]; // | + | |
- | a[j] = a[j - 1]; | + | |
- | a[--j] = aux; | + | |
- | } | + | |
- | } | + | |
- | } | + | |
- | </ | + | |
- | ====3.4 Merge sort==== | + | <note tip> |
+ | Observaţii: | ||
+ | * costMin(i, | ||
+ | * costMin(i, | ||
- | * timp mediu: O(N log N) | + | </ |
- | * timp la limită: O(N log N) | + | |
- | * memorie: O(N) | + | |
- | * Stabil: DA | + | |
- | ===Descriere :=== | + | Paşii algoritmului Floyd-Warshall: |
- | În cazul sortării prin interclasare, | + | |
- | din acelaşi vector. | + | |
- | Sortarea prin interclasare utilizează metoda **Divide et Impera**: | + | |
- | *se împarte vectorul în secvenţe din ce în ce mai mici, astfel încât fiecare secvenţă să fie | + | < |
- | ordonată la un moment dat şi interclasată cu o altă secvenţă din vector corespunzătoare. | + | 1. Declarăm matricile: |
- | *practic, interclasarea va începe când se ajunge la o secvenţă formată | + | dist, matrice N x N şi o iniţializăm dist[i][j] = infinit, pentru orice i şi j |
+ | next, matrice N x N în care vom salva prima muchie | ||
+ | //next este necesar doar în cazul în care ne interesează muchiile folosite | ||
+ | //pasul k = 0 | ||
+ | 2. Pentru fiecare nod v | ||
+ | 1. dist[v][v] = 0; | ||
+ | 3. Pentru fiecare pereche (u,v) a.i. există muchie de la u la v | ||
+ | 1. dist[u][v] = costMuchie(u,v); | ||
+ | 2. next[u][v] = v; //pentru urmărirea muchiilor ce compun drumul | ||
+ | //am terminat pasul k = 0 | ||
+ | 4. Pentru fiecare pas k (de la 1 la N) | ||
+ | 1. Pentru fiecare nod i (de la 1 la N) | ||
+ | 1. Pentru fiecare nod j (de la 1 la N) | ||
+ | 1. calculăm costul nou = dist[i][k] + dist[k][j]; | ||
+ | 2. comparăm costul nou cu costul vechi = dist[i][j] | ||
+ | dacă e mai bun costul nou: | ||
+ | 1. dist[i][j] = costul nou; | ||
+ | 2. next[i][j] = next[i][k]; //pentru urmărirea muchiilor | ||
+ | altfel păstrăm costul vechi | ||
+ | </ | ||
- | ===Implementare | + | Pentru obţinerea nodurilor ce formează drumul de cost minim de la u la v, putem folosi următoarea secvenţă: |
- | <file cpp> | + | <code> |
- | void mergeSort(int a[],int st, int m, int dr) | + | funcţie afişareDrum(u, v) |
- | { | + | 1. dacă u == v |
- | int b[100]; | + | 1. print(v); STOP |
- | int i, j, k; | + | 2. print(u); |
- | i = 0; j = st; | + | 3. afişareDrum(next[u][v], v); |
- | // copiem prima jumatate a vectorului a in b | + | </code> |
- | while (j <= m) | + | |
- | b[i++] = a[j++]; | + | |
- | i = 0; k = st; | + | |
- | // copiem inapoi cel mai mare element la fiecare pas | + | |
- | while (k < j && j <= dr) | + | |
- | if (b[i] <= a[j]) | + | |
- | a[k++] = b[i++]; | + | |
- | | + | |
- | a[k++] = a[j++]; | + | |
- | // copiem elementele ramase daca mai exista | + | |
- | while (k < j) | + | |
- | a[k++] = b[i++]; | + | |
- | } | + | |
- | void merge(int a[],int st, int dr) | + | |
- | { | + | |
- | if (st < dr) | + | |
- | { | + | |
- | int m = (st+dr)/2; | + | |
- | merge(a,st, m); | + | |
- | merge(a, | + | |
- | mergeSort(a, | + | |
- | } | + | |
- | } | + | |
- | </file> | + | |
- | ====3.5 Quick sort==== | + | ===== 5. Observaţii finale |
+ | <note tip> | ||
+ | Cei 3 algoritmi funcţionează bine atunci când **toate muchiile** au **cost pozitiv**. | ||
+ | </ | ||
+ | <note warning> | ||
+ | Drumul de cost minim **NU** este bine definit atunci când există **cicluri cu cost negativ**. | ||
+ | * putem ajunge de la un nod la acelaşi nod, folosind acelaşi ciclu de oricâte ori => costMinim = -infinit); | ||
+ | * în aceste cazuri, nu putem pune problema găsirii drumurilor de cost minim. | ||
- | * timp mediu: | + | </ |
- | * timp la limită: O(N^2) | + | <note warning> |
- | * memorie: O(log N) | + | O **muchie cu cost negativ** este echivalentă cu **2 arce cu cost negativ** şi implică existenţa unui ciclu cu cost negativ. |
- | * Stabil: NU | + | </ |
+ | <note tip> | ||
+ | Algoritmii | ||
+ | * Bellman-Ford: executăm încă o evaluare a tuturor muchiilor la final. Dacă găsim cel puţin o estimare nouă mai buna, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ. | ||
+ | * Floyd-Warshall: putem verifica, la fiecare pas, dacă avem o valoare negativă pe diagonala matricei dist. Dacă găsim cel puţin o valoare negativă, graful conţine măcar un ciclu cu cost negativ. | ||
- | ===Descriere :=== | + | </ |
- | Quick Sort este unul dintre cei mai rapizi | + | <note important> |
+ | Pentru algoritmul lui **Dijkstra**, | ||
+ | * Algoritmul se bazează pe ideea că, odată explorat un nod, drumul | ||
+ | * De aceea, algoritmul poate produce răspunsuri **greşite** în acest caz. | ||
- | Algoritmul se bazează pe următorii paşi: | + | </ |
- | *alegerea unui element pe post de **pivot** | + | <note tip>În schimb, algoritmii |
- | | + | </ |
- | *interschimbarea elementelor care se află pe "**partea greşită**" a pivotului(mutăm la dreapta pivotului elementele mai mari, la stânga pivotului elementel mai mici) | + | |
- | | + | |
- | < | + | ===== 6. Exerciții laborator ====== |
- | {{ : | + | - Daţi un exemplu de graf orientat cu un singur arc cu cost negativ pentru care algoritmul lui Dijkstra dă rezultate greşite. |
+ | - Cum putem folosi algoritmul lui Dijkstra sau algoritmul Bellman-Ford pentru a obţine aceleaşi rezultate ca algoritmul Floyd-Warshall(drumul de cost minim pentru toate perechile de noduri)? Ne limităm la grafurile pe care merg toţi cei trei algoritmi. | ||
+ | - Implementaţi unul din algoritmi pentru a calcula drumurile de cost minim de la un nod sursă la toate celelalte noduri într-un graf cu toate muchiile/ | ||
+ | - Verificaţi dacă un graf conţine cicluri negative. | ||
- | ===Implementare :=== | + | ====6.1. Exerciții - schelet de laborator==== |
- | <file cpp> | + | Pentru acest laborator puteți descărca scheletul de cod de [[http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab7_drumuri_minime-skel.zip|aici]]. Descărcați arhiva și dezarhivați-o. |
- | void qSort(int a[],int st,int dr) | + | |
- | { | + | |
- | int temp, | + | |
- | mijl = a[st+(dr-st)/ | + | |
- | min = st; max = dr; | + | |
- | do | + | |
- | { | + | |
- | while(a[min] < mijl) min++; | + | |
- | while(a[max] > mijl) max--; | + | |
- | if(min <= max) //interschimbare | + | |
- | { | + | |
- | temp = a[min]; | + | |
- | a[min++] = a[max]; | + | |
- | a[max--] = temp; | + | |
- | } | + | |
- | }while(min <= max); //la fiecare pas sortam "mai bine" intervalul st-dr | + | |
- | | + | |
- | if(st < max) qSort(a, | + | |
- | if(dr > min) qSort(a, | + | |
- | } | + | |
- | </ | + | |
- | ===== 4. Exerciţii ===== | + | === Linux=== |
+ | Puteti folosi utilitarul '' | ||
- | E0. Alegeţi un algoritm A(dintre Bubble, Insertion şi Selection) şi un algoritm B(dintre Merge şi Quick). Introduceţi nişte variabile globale cu care să contorizaţi numărul de **comparaţii** pentru algoritmii A şi B. Comparaţi rezultatele pentru un vector de întregi de lungime n = 20. | + | * '' |
+ | | ||
- | E1. Implementaţi un algoritm(dintre Bubble, Insertion şi Selection) pentru sortarea unui vector cu n cuvinte de maxim 4 litere fiecare. | + | Pentru compilare folositi comanda '' |
- | E2. Implementaţi un algoritm(dintre Merge şi Quick) pentru sortarea unui vector de structuri, unde fiecare structură reprezintă un moment de timp(int ora, | ||
- | E3. Se dă un vector de n întregi, iar toate valorile din vector sunt între 0 şi 1000. Sortaţi vectorul în timp O(n). | + | ===Extra=== |
- | <note tip>Este uşor să verificăm dacă două elemente sunt în ordine atunci când elementele au o structură simplă. Dacă avem o structură mai complicată, | + | - Se dă un graf pentru care se cunoaşte drumul de cost minim de la un nod sursă(S) la un nod destinaţie(D). Dacă adăugăm 100 la costul fiecărei muchii, se modifică drumul de cost minim? (dacă da, daţi un exemplu; dacă nu, explicaţi de ce). |
+ | - Aceeaşi întrebare dacă înmulţim fiecare cost cu 100. | ||
+ | - Cum găsiţi(mai rapid decât cu cei 3 algoritmi prezentaţi) drumul | ||
+ | | ||
- | Puteţi utiliza următorul model pentru exerciţiile propuse: {{ : | ||
+ | ===== 7.Referințe ====== | ||
+ | - [[https:// | ||
+ | - [[https:// | ||
+ | - [[http:// | ||
+ | - [[https:// | ||
+ | - [[http:// |