Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.
Ambele părți revizuirea anterioară Versiuni anterioare Urmatoarea versiune | Versiuni anterioare Urmatoarea versiune Ambele părți următoarea reviziune | ||
laboratoare:laborator-07 [2017/04/01 16:58] mihai.iacov [3.2 Algoritmul Bellman-Ford] |
laboratoare:laborator-07 [2017/04/02 15:57] mihai.iacov [6.Exiciții laborator] |
||
---|---|---|---|
Linia 23: | Linia 23: | ||
<note important> | <note important> | ||
+ | |||
+ | ====2.3 Legătura muchii-arce: | ||
+ | <note tip> | ||
+ | Orice graf **neorientat** este echivalent cu un graf **orientat** dacă înlocuim fiecare **muchie** cu **două arce**(de acelaşi cost, câte un arc pentru fiecare sens). | ||
+ | |||
+ | Algoritmii următori pot fi folosiţi(în limita observaţiilor finale) pe grafuri orientate la fel ca pe grafuri neorientate. | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | |||
===== 3.Drumul de cost minim cu sursă unică ====== | ===== 3.Drumul de cost minim cu sursă unică ====== | ||
Următorii algoritmi caută drumurile de cost minim de la **un singur nod(sursă)** la **toate celelalte noduri**. Rezultatul acestor algoritmi este un **arbore cu drumuri de cost minim**, unde: | Următorii algoritmi caută drumurile de cost minim de la **un singur nod(sursă)** la **toate celelalte noduri**. Rezultatul acestor algoritmi este un **arbore cu drumuri de cost minim**, unde: | ||
Linia 44: | Linia 53: | ||
<note tip> | <note tip> | ||
+ | <note important> | ||
+ | Pentru grafuri orientate, ne referim la vecinii la care putem ajunge printr-un arc ce pleacă din C: (C,V). | ||
+ | </ | ||
Paşii algoritmului lui Dijkstra: | Paşii algoritmului lui Dijkstra: | ||
< | < | ||
Linia 104: | Linia 116: | ||
==== 4.1 Algoritmul Floyd-Warshall ==== | ==== 4.1 Algoritmul Floyd-Warshall ==== | ||
- | ===== 5.Exiciții laborator ====== | + | Rezultatul algoritmului este o matrice N x N(unde N = |V|, numărul de noduri), iar valorea din matrice de la poziţia [i][j] va fi costul minim pentru drumul i-j. Fie această matrice numită **dist**. |
+ | |||
+ | Pentru simplitate, algoritmul numerotează nodurile de la 1 la N şi foloseşte următoarea construcţie: | ||
+ | * defineşte o funcţie costMinim(i, | ||
+ | * -pleacă din i | ||
+ | * -ajunge în j | ||
+ | * -în afară de primul şi de ultimul nod, conţine numai noduri din {1, | ||
+ | |||
+ | Algoritmul calculează costMinim(i, | ||
+ | |||
+ | <note tip> | ||
+ | Observaţii: | ||
+ | * costMin(i, | ||
+ | * costMin(i, | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Paşii algoritmului Floyd-Warshall: | ||
+ | |||
+ | < | ||
+ | 1. Declarăm matricile: | ||
+ | dist, matrice N x N şi o iniţializăm dist[i][j] = infinit, pentru orice i şi j | ||
+ | next, matrice N x N în care vom salva prima muchie din drumul i-j de cost minim | ||
+ | //next este necesar doar în cazul în care ne interesează muchiile folosite | ||
+ | //pasul k = 0 | ||
+ | 2. Pentru fiecare nod v | ||
+ | 1. dist[v][v] = 0; | ||
+ | 3. Pentru fiecare pereche (u,v) a.i. există muchie de la u la v | ||
+ | 1. dist[u][v] = costMuchie(u, | ||
+ | 2. next[u][v] = v; //pentru urmărirea muchiilor ce compun drumul | ||
+ | //am terminat pasul k = 0 | ||
+ | 4. Pentru fiecare pas k (de la 1 la N) | ||
+ | 1. Pentru fiecare nod i (de la 1 la N) | ||
+ | 1. Pentru fiecare nod j (de la 1 la N) | ||
+ | 1. calculăm costul nou = dist[i][k] + dist[k][j]; | ||
+ | 2. comparăm costul nou cu costul vechi = dist[i][j] | ||
+ | dacă e mai bun costul nou: | ||
+ | 1. dist[i][j] = costul nou; | ||
+ | 2. next[i][j] = next[i][k]; //pentru urmărirea muchiilor | ||
+ | altfel păstrăm costul vechi | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | Pentru obţinerea nodurilor ce formează drumul de cost minim de la u la v, putem folosi următoarea secvenţă: | ||
+ | < | ||
+ | funcţie afişareDrum(u, | ||
+ | 1. dacă u == v | ||
+ | 1. print(v); STOP | ||
+ | 2. print(u); | ||
+ | 3. afişareDrum(next[u][v], | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ===== 5. Observaţii finale ====== | ||
+ | <note tip> | ||
+ | Cei 3 algoritmi funcţionează bine atunci când **toate muchiile** au **cost pozitiv**. | ||
+ | </ | ||
+ | <note warning> | ||
+ | Drumul de cost minim **NU** este bine definit atunci când există **cicluri cu cost negativ**. | ||
+ | * putem ajunge de la un nod la acelaşi nod, folosind acelaşi ciclu de oricâte ori => costMinim = -infinit); | ||
+ | * în aceste cazuri, nu putem pune problema găsirii drumurilor de cost minim. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | <note warning> | ||
+ | O **muchie cu cost negativ** este echivalentă cu **2 arce cu cost negativ** şi implică existenţa unui ciclu cu cost negativ. | ||
+ | </ | ||
+ | <note tip> | ||
+ | Algoritmii **Bellman-Ford** şi **Floyd-Warshall** pot detecta dacă un graf conţine **cicluri cu cost negativ**: | ||
+ | * Bellman-Ford: | ||
+ | * Floyd-Warshall: | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | <note important> | ||
+ | Pentru algoritmul lui **Dijkstra**, | ||
+ | * Algoritmul se bazează pe ideea că, odată explorat un nod, drumul de cost minim până la acel nod a fost găsit, ceea ce **NU** este mereu corect în prezenţa unui arc cu cost negativ. | ||
+ | * De aceea, algoritmul poate produce răspunsuri **greşite** în acest caz. | ||
+ | |||
+ | </ | ||
+ | <note tip>În schimb, algoritmii **Bellman-Ford** şi **Floyd-Warshall** funcţionează pe grafurile cu **arce cu cost negativ**, atâta timp cât drumurile de cost minim sunt bine definite(**fără cicluri cu cost negativ**). | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ===== 6.Exiciții laborator ====== | ||
+ | |||
+ | - Daţi un exemplu de graf orientat cu un singur arc cu cost negativ pentru care algoritmul lui Dijkstra dă rezultate greşite. | ||
+ | - Daţi un exemplu de graf pentru care algoritmul lui Dijkstra lucrează mult mai uşor decât algoritmul Bellman-Ford. | ||
+ | - Implementaţi unul din algoritmi pentru a calcula drumurile de cost minim de la un nod sursă la toate celelalte noduri într-un graf cu toate muchiile/ | ||
+ | - Verificaţi dacă un graf conţine cicluri negative. | ||
+ | |||
+ | ===Extra=== | ||
+ | |||
+ | - Se dă un graf pentru care se cunoaşte drumul de cost minim de la un nod sursă(S) la un nod destinaţie(D). Dacă adăugăm 100 la costul fiecărei muchii, se modifică drumul de cost minim? (dacă da, daţi un exemplu; dacă nu, explicaţi de ce). | ||
+ | - Aceeaşi întrebare dacă înmulţim fiecare cost cu 100. | ||
+ | - Cum găsiţi(mai rapid decât cu cei 3 algoritmi prezentaţi) drumul de cost minim de la S la D într-un graf în care toate muchiile au acelaşi cost(1)? Cum adaptaţi soluţia în cazul în care toate muchiile au costul 1 sau 2? | ||
- | ===== 6.Referințe ====== | + | ===== 7.Referințe ====== |
- [[https:// | - [[https:// | ||
- [[https:// | - [[https:// |