Unelte utilizator

Unelte site


laboratoare:laborator-13

**Aceasta e o versiune anterioară a paginii.** ----

A PCRE internal error occured. This might be caused by a faulty plugin

====== Laborator 13: Best-first search și A* ====== =====1. Introducere - Best-First Search===== ====1.1 Noţiuni introductive==== ===Definiţie BFS(Best First)=== În sensul cel mai general, putem spune că un algoritm de căutare este de tipul Best-First dacă păstrează o evidenţă cu **candidaţii** şi alege să verifice mereu candidaţii cu potenţial mai mare înainte de a-i verifica pe cei cu potenţial mai mic(cu alte cuvinte, **verifică întâi candidatul cel mai bun - cu cel mai mare potenţial**). ===Cum definim potenţialul?=== *Trebuie să atribuim un "**potenţial de rezultat**" fiecărui candidat, adică să găsim o metodă cu care să decidem dacă un candidat prezintă mai mult interes decât altul, dacă avem aşteptări mai mari de a găsi rezultatul dorit alegând acest candidat. *În multe cazuri, funcţia de "**cost potenţial**" ne ajută să descriem **potenţialul de rezultat**. Cu cât este mai mare costul la care ne aşteptăm de la un candidat, cu atât este mai mic potenţialul lui de a ne duce la rezultatul căutat. Cu alte cuvinte, putem spune că **cel mai bun** candidat este **cel mai puţin costisitor** candidat. *După ce definim o funcţie de acest fel, putem introduce candidaţii într-o coadă prioritară(**priority queue**) în funcţie de costul aşteptat în aşa fel încât **primul** candidat din coadă să fie **cel mai bun** candidat. ====1.2 Greedy vs. Dijkstra==== Folosind noţiunile de mai sus, încercăm să identificăm funcţiile de cost potenţial pentru următoarea problemă: găsirea unui drum de cost minim de la un nod sursă(S) la un nod destinaţie(D) într-un graf. *Candidaţii = nodurile din graf care urmează să fie incluse în soluţie *Un candidat face parte din soluţie dacă drumul căutat trece prin el *Nodurile S şi D au **costul potenţial = 0**, dar considerăm nodul D "nedescoperit" iniţial şi plecăm din nodul S *Toate celelalte noduri au iniţial **costul potenţial infinit** *Presupunem că ne aflăm la nodul curent(C) extras de la începutul cozii şi evaluăm nodurile vecine ale acestuia ===Greedy=== Definim funcţia de **cost potenţial** h(N) = posibilul cost din nodul curent(C), prin nodul vecin(N), până la nodul destinaţie(D) Metoda Greedy construieşte soluţia alegând mereu **optimul local**, cu alte cuvinte *h(C) = 0, pentru că deja am inclus nodul C în soluţia parţială *h(N) = costul muchiei (C,N), pentru orice nod N care **nu este deja** în soluţia parţială ===Dijkstra=== Definim funcţia de **cost potenţial** g(N) = costul minim al drumului din punctul iniţial(S) până în nodul N <note important>Algoritmul lui Dijkstra actualizează costul minim al drumului de la S la fiecare punct pe măsură ce explorează graful. Presupunem că actualizăm, în acelaşi timp, şi **costul potenţial**.</note> ===Observaţii=== *În general, nu este **necesar** şi nici **suficient** ca funcţia de cost potenţial a unui nod să fie 0 pentru ca acel nod să facă parte din soluţia finală. *Metoda Greedy poate duce la funcţia g(N) = 0 pentru noduri care par bune pe moment, dar nu se poate ajunge la D fără revenirea în nodul C(căutarea unui nou optim local după ce acesta a eşuat complet). *La algoritmul lui Dijkstra, în afară de nodurile S şi D, celelalte noduri au cost potenţial nenul(excepţie dacă există muchii de cost 0). <note warning>Costul potenţial are rol doar în etapa de explorare a grafului. Pentru extragerea nodurilor ce formează drumul de cost minim, **nu** interpretăm costul potenţial. Este mult mai uşor să reţinem, într-un **vector de părinţi**, nodul "curent" din care am ajuns la nodul "următor", în momentul în care actualizăm costul potenţial al nodului următor.</note> ===Performanţe=== *Metoda Greedy obţine **foarte repede** un rezultat(un drum de la S la D), dar, în multe cazuri, acesta **nu este cel mai scurt**(de cost minim). *Algoritmul lui Dijkstra cu coadă prioritară are nevoie de **mai mult timp** pentru a obţine un rezultat, dar este **garantat** că, în momentul în care descoperă nodul D, a **găsit cel mai scurt drum** şi algoritmul se poate opri. ===Propunere=== *Putem găsi o cale de mijloc care să fie mai rapidă decât algoritmul lui Dijkstra şi care să ducă la soluţia dorită? *Când putem defini o funcţie f(N) care să fie o combinaţie a funcţiilor g(N) şi h(N)) care să ducă la un algoritm mai bun? ====1.3 Algoritmul A*==== Algoritmul A* este definit, în sens general, ca fiind un algoritm de căutare de tip BFS(Best-First) ce foloseşte funcţia de **cost potenţial** f(N) = g(N) + h(N), unde g(N) = costul minim pentru un drum de la S la N h(N) = estimarea pentru costului minim pentru un drum de la N la D Definirea funcţiei g nu ridică probleme(putem folosi aceeaşi funcţie ca la algoritmul lui Dijkstra), dar, din punct de vedere al funcţiei h, numită funcţie **euristică**, distingem câteva cazuri: *dacă funcţia h(N) = 0 peste tot, algoritmul coincide cu Dijkstra cu coadă prioritară -> soluţie optimă garantată, dar lent *dacă funcţia h(N) < costul minim al drumului de la N la D, oricare ar fi N -> soluţie optimă garantată, mai rapid *dacă funcţia **h(N) = costul minim al drumului de la N la D**, oricare ar fi N -> **cel mai rapid algoritm cu soluţia optimă garantată** *dacă funcţia h(N) > costul minim al drumului de la N la D(**chiar şi pentru câteva** noduri N) -> optimul **nu** e garantat, dar e şi mai rapid *dacă funcţia h(N) domină, atunci g(N) nu mai are efect, iar algoritmul A* devine Greedy Best-First Search. ===Concluzie=== O estimare iniţială bună creşte performanţa algoritmului şi păstrează rezultatul optim. <note tip>Este uşor să alegem o funcţie euristică bună atunci când avem **informaţii suplimentare** despre graf. Dacă ştim că există nişte **proprietăţi particulare**, ne putem folosi de ele.</note> =====2. Exemple===== ====Problema taxiului==== Presupunem următoarul caz: *într-un oraş, oricare două străzi sunt **paralele** sau **perpendiculare** între ele; *orice zonă mărginită de străzi are formă pătrată de latură = Lat(metri), iar pe colţurile **pătratului** sunt **intersecţii**; *unele intersecţii sunt **blocate** şi ştim care sunt acestea *se dau intersecţiile S şi D ===Cerinţa=== Dacă putem reduce orice intersecţie la un **punct**, găsiţi drumul cel mai scurt pe care poate merge un taxi din S în D(fără a trece prin intersecţiile blocate) ===Rezolvare=== *Putem reprezenta intersecţiile cu o matrice. *Ne putem deplasa doar pe **orizontală** sau pe **verticală**, deci, în cel mai bun caz, lungimea drumului minim de la un punct oarecare N la D poate fi exprimată in funcţie de coordonatele intersecţiilor *Fie (Nx, Ny) = poziţia lui N, fie (Dx, Dy) = poziţia lui D şi fie dMin(N, D) = lungimea drumului minim de la N la D. *Atunci, **în cel mai bun caz**, **dMin(N, D) = |Nx - Dx| + |Ny - Dy|** *Putem defini h(N) = dMin(N, D) ca funcţie euristică pentru acest caz