Unelte utilizator

Unelte site


laboratoare:laborator-07

Diferențe

Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.

Link către această vizualizare comparativă

Ambele părți revizuirea anterioară Versiuni anterioare
Urmatoarea versiune
Versiuni anterioare
laboratoare:laborator-07 [2017/04/01 17:53]
mihai.iacov [4.1 Algoritmul Floyd-Warshall]
laboratoare:laborator-07 [2018/02/25 22:45] (curent)
mihai.iacov
Linia 1: Linia 1:
-====== Laborator 07: Parcurgerea grafurilor ======+====== Laborator 07: Arbori minimi de acoperire ======
  
-===== 1.Obiective laborator ====== +===== 1. Obiective laborator===== 
-  * Înțelegerea ideii de cost și de drum minim într-un graf +  * Înțelegerea conceptului de arbore minim de acoperire  
-  * Prezentarea algoritmilor care calculează drumul de cost minim +  * Înțelegerea implementării algoritmilor care determină acest arbore 
-  * Înțelegerea aplicațiilor practice prezente în: +  * Înțelegere aplicațiilor practice în: 
-    * găsirea drumului minim între 2 locații (ex: GPS+    * rețele de calculatoare: obținerea unui cost redus la interconectarea mai multor stații (ex: protocolul STP folosit în LAN-uri
-    * rutarea în cazul rețelelor de calculatoare (ex: protocolul RIP)+    * prelucrarea de imagine: segmentarea cadrelor (ex: folosită în analiza medicală) 
 +    * în clustere: determinarea unei topologii de comunicare, în cazul în care topologia nu era una regulată(arbore, inel)
  
-{{ :laboratoare:rip.gif?600 | RIP protocol}} +{{ :laboratoare:segmentation.jpg?600 | Segmentarea de imagini}}
-===== 2.Considerente teoretice ======+
  
 +===== 2. Introducere =====
  
-==== 2.1 Costul unei muchii ==== +==== 2.1 Conexitate în grafuri ====
-La fel ca la arbori de acoperire, presupunem că fiecare muchie are un **cost de parcurgere**.+
  
-==== 2.2 Costul unui drum; drumul de cost minim ==== +===Componentă conexă=== 
-Într-un graf, orice drum este definit de o succesiune de muchii (cu proprietatea că, pentru oricare două muchii consecutive din succesiune, nodul destinaţie/de sosire al primei muchii este acelaşi cu nodul sursa/de plecare al celei de-a doua muchii).+O componentă conexă a unui graf **neorientat** este un subgraf cu următoarele proprietăţi: 
 +  - oricare două noduri din acest subgraf sunt **conectate**(există un lanţ între ele) 
 +  - orice nod din acest subgraf **NU este conectat** cu niciun nod din afara subgrafului(nodurile din componentă fac muchii numai cu alte noduri din componentă)
  
-Costul unui drum va fi definit ca **suma costurilor** muchiilor ce compun acel drum.+<note important>Orice graf neorientat are cel puţin o componentă conexă.</note>
  
-Fie un nod sursă(S) şi un nod destinaţie(D). Pot exista mai multe drumuri de la S la D(drumuri care au S primul nod, D ultimul nod), iar drumul de cost minim de la S la D va fi cel mai ieftin(cu costul cel mai mic) dintre acestea.+===Graf neorientat conex=== 
 +Un graf neorientat este numit **conex** dacă are o singură **componentă conexă**.
  
-<note important>Pot exista mai multe drumuri de cost minim de la S la D.</note> +<note tip>Putem explora toate nodurile dintr-un graf neorientat conex dintr-o singură parcurgere a grafului(DFS sau BFS).</note>
-===== 3.Drumul de cost minim cu sursă unică ====== +
-Următorii algoritmi caută drumurile de cost minim de la **un singur nod(sursă)** la **toate celelalte noduri**. Rezultatul acestor algoritmi este un **arbore cu drumuri de cost minim**, unde: +
-  * nodul sursă(S) este rădăcina arborelui; +
-  * toate nodurile din graf sunt în arbore; +
-  * pentru orice nod destinaţie(D), costul drumului din arbore de la rădăcina S la D este drum de cost minim(de la S la Dîn graf.+
  
 +===Graf orientat slab conex===
 +Fie graful neorientat asociat unui graf orientat obţinut prin înlocuirea tuturor **arcelor** cu **muchii**. Atunci un graf orientat este **slab conex** dacă graful neorientat asociat acestuia este conex.
  
-==== 3.1 Algoritmul lui Dijkstra ====+===Graf orientat tare conex=== 
 +Un graf orientat este **tare conex** dacă există drum între oricare două noduri, atât într-un sens, cât şi în celelalt.
  
-Algoritmul lui Dijkstra se bazează pe un principiu similar cu cel al algoritmului lui Prim: +Se pot defini similar componentele slab conexă şi tare conexă.
-  * iniţial, toate nodurile sunt neexplorate şi vom construi arborele, începând de la nodul S; +
-  * atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţial, S are costul 0, toate celelalte noduri au costul **infinit**); +
-  * la fiecare pas, alegem cel mai bun candidat dintre nodurile neexplorate, urmând să îl explorăm(să îi evaluăm vecinii), iar acel candidat va rămâne în arbore; +
-  * la fiecare explorare(evaluare a vecinilor), dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţa muchiilor folosite, actualizăşi nodul părinte al vecinului respectiv.+
  
-Diferenţa apareîn algoritmul lui Dijkstra, la funcţia folosită pentru estimarea costuriloratunci când evaluăm vecinii unui nod: +==== 2.2 Arborele văzut ca graf ==== 
-  Dacă C este nodul curent(pe care îl explorăm)atunci: +Folosind noţiunile de mai susputem spune că un arbore este un graf(pentru simplitatefie neorientat) **conex** şi cu număr minim de muchii, prin urmare, **aciclic**. 
-  pentru fiecare nod vecin(V) al lui Cnoul cost posibil va fi costul drumului S-V(de la S la V) care trece prin C, mai exact - suma dintre costul drumului S-C şi costul muchiei (C,V).+==== 2.3 Arbore vs. pădure de acoperire ==== 
 +Pentru un graf neorientatconstruirea unui arbore de acoperire(nu neapărat de cost minimpresupune construirea unui arbore care să fie **graf parţial**(să **acopere** toate nodurile).
  
-<note tip>Construind astfel algoritmul, este **garantat** în momentul în care explorăm un nod(C), estimarea pentru costul drumului S-C este chiar **costul minim**.</note>+Acest lucru este posibil numai dacă graful este **conex**. În caz contrarse poate construi câte un arbore de acoperire pentru fiecare **componentă conexă** a grafului, spunând că se construieşte o **pădure** de acoperire pentru graf.
  
-Paşii algoritmului lui Dijkstra: +==== 2.4 Arbore de cost minim ===
-<code> +Dacă fiecare muchie dintr-un arbore are un **cost**(o pondere), atunci **costul arborelui** este dat de **suma costurilor** muchiilor ce formează arborele.
-1. Declarăm două mulţimi: +
- mulţimea nodurilor neexplorate(MN), iniţial MN conţine toate nodurile; +
- mulţimea nodurilor explorate(ME) ce compun arborele, iniţial ME vidă; +
-2. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: +
- 0 pentru nodul sursă(S); +
- infinit pentru toate celelalte; +
-3. Cât timp există noduri în MN +
- 1. Alegem, din MN(nodurile neexplorate), nodul cu cel mai mic cost estimat +
- îl numim C(nodul curent) +
- 2. pentru fiecare din vecinii lui C care se află în MN  +
- 3. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-C) + cost(muchia (C,V)); +
- 4. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-V): +
- dacă noul cost e mai bun +
- 1. actualizăm cost(drumul S-V= noul cost; +
- 2. actualizăm parinte(V) = C; (pentru păstrarea muchiei folosite) +
- altfel păstrăm vechiul cost +
- 5Marcăm nodul C ca explorat: îl eliminăm din MN şi îl adăugăm în ME. +
- (Nu va mai fi verificat) +
-</code>+
  
-==== 3.2 Algoritmul Bellman-Ford ==== +Dacă, pe acelaşi principiu, fiecare muchie dintr-un graf are un cost, atunci alegerea unui **arbore minim de acoperire** presupune alegerea unui arbore care să acopere toate nodurile şi care să folosească muchiile ce dau suma costurilor minimă. 
-Principii similare pentru algoritmul Bellman-Ford: +===== 3. Algoritmul lui Kruskal =====
-  * vom construi arborele, începând de la nodul S; +
-  * atribuim un posibil cost(o estimare a distanţei) pentru fiecare nod. (iniţialS are costul 0, toate celelalte noduri au costul **infinit**); +
-  * la fiecare evaluare, dacă găsim o nouă estimare de cost mai bună decât cea precedentă, folosim, mai departe, noua estimare. Dacă dorim să ţinem evidenţa muchiilor folosite, actualizăm şi nodul părinte+
-  * funcţia de estimare a costului este definită la fel ca la algoritmul lui Dijkstra(costul drumului de la S la nodul respectiv)+
  
-<note tip>Rezultatul algoritmului va fi un arbore cu N noduri(unde N = |V|, numărul de noduri din graf)Prin urmare, **lungimea** oricărui drum de la S la alt nod va fi **maxim N-1**. (Presupunem că nu se repetă muchii) +Algoritmul lui Kruskal este un algoritm în teoria grafurilor care găsește arborele parțial de cost minim pentru un graf conex ponderat
-</note>+
  
-Diferenţa apareîn algoritmul Bellman-Ford, la alegerea nodurilor pentru care facem evaluarea: +Cu alte cuvintegăsește submulțimea muchiilor care formează un arbore care include toate vârfurile și care este minimizat din punct de vedere al costului
-  * Algoritmul nu are preferinţe pentru anumite noduri şi nu extrage, la fiecare pas, cel mai bun candidat. +
-  * În schimb, acest algoritm evaluează **toate muchiile** la un pas. Folosindu-se de principiul de mai sus, (N-1) astfel de paşi vor fi suficienţi.+
  
-<note important> +Dacă graful nu este conexatunci algoritmul găsește o pădure parțială de cost minim (un arbore parțial de cost minim pentru fiecare componentă conexă). Algoritmul lui Kruskal este un exemplu de **algoritm greedy**.
-În cazul grafurilor neorientateevaluăfiecare muchie în ambele sensuri. +
-</note>+
  
-Paşii algoritmului Bellman-Ford: +<note tip
-<code+Algoritmul funcționează în felul următor:
-1. Atribuim fiecărui nod o estimare iniţială a costului: +
- 0 pentru nodul sursă(S); +
- infinit pentru toate celelalte; +
-2. Executăm de N-1 ori: +
- 1. Pentru fiecare pereche (u, v) a.i. există muchie de la u la v +
- 1. calculăm noua estimare de cost = cost(drumul S-u) + cost(muchia (u,v)); +
- 2. comparăm noua estimare cu vechiul cost(drumul S-v): +
- dacă noul cost e mai bun +
- 1. actualizăm cost(drumul S-v) = noul cost; +
- 2. actualizăm parinte(v) = u; (pentru păstrarea muchiei folosite) +
- altfel păstrăm vechiul cost +
-</code>+
  
-===== 4.Drumul de cost minim între oricare 2 noduri ====== +  *  creează o pădure F (o mulțime de arbori), unde fiecare vârf din graf este un arbore separat 
-Următorul algoritm caută cel mai scurt drum de la **orice nod sursă(S)** la **fiecare nod destinaţie(D)**.+   creează o mulțime care conține toate muchiile din graf 
 +   atât timp cât S este nevidă 
 +      elimină o muchie de cost minim din S 
 +      dacă acea muchie conectează doi arbori distincți, atunci adaugă muchia în pădure, combinând cei doi arbori într-unul singur 
 +      altfel, ignoră muchia
  
 +</note>
  
-==== 4.1 Algoritmul Floyd-Warshall ==== +{{ :laboratoare:kruskal.gif?900 |}}
-Rezultatul algoritmului este o matrice N x N(unde N = |V|, numărul de noduri), iar valorea din matrice de la poziţia [i][j] va fi costul minim pentru drumul i-j. Fie această matrice numită **dist**.+
  
-Pentru simplitate, algoritmul numerotează nodurile de la 1 la N şi foloseşte următoarea construcţie: 
-  * defineşte o funcţie costMinim(i,j,k) = cel mai ieftin drum care: 
-  *    -pleacă din i 
-  *    -ajunge în j 
-  *    -în afară de primul şi de ultimul nod, conţine numai noduri din {1,2,3,...,k}(primele k noduri). 
  
-Algoritmul calculează costMinim(i,j,k) pentru toate perechile (i,j,k), folosind formula: **costMin(i,j,k+1) = min(costMin(i,j,k), costMin(i,k+1,k) + costMin(k+1,j,k))**;+{{ :laboratoare:kruskal2.gif?900 |}} 
 +===== 4. Algoritmul lui Prim ===== 
 + 
 +Algoritmul lui Prim este un algoritm din teoria grafurilor care găsește arborele parțial de cost minim al unui graf conex ponderat. Înseamnă că găsește submulțimea muchiilor care formează un arbore care include toate vârfurile șal cărui cost este minimizat. 
  
 <note tip> <note tip>
-Observaţii: +Algoritmul incrementează mărimea unui arbore, pornind de la un nod, până când sunt incluse toate nodurile. 
-  costMin(i,j,0) = costMuchie(i,j) (dacă există muchie de la i la j) sau infinit(altfel); + 
-  costMin(i,j,N= drumul de cost minim de la i la j.+    Intrare: Un graf conex ponderat cu nodurile V șmuchiile E. 
 +    * Initializare: Vnou = {x}unde x este un nod arbitrar (punct de plecaredin V, Enou{} repetă până când Vnou=V: 
 +        * Alege muchia (u,vdin E de cost minim astfel încât u este în Vnou și v nu e (dacă există mai multe astfel de muchii, se alege arbitrar
 +        Se adaugă v la Vnou(u,vla Enou 
 +    * Ieșire: Vnou și Enou descriu arborele parțial de cost minim
  
 </note> </note>
  
-Paşii algoritmului Floyd-Warshall:+{{ :laboratoare:prim.gif?900 |}} 
 + 
 + 
 + 
 +{{ :laboratoare:prim2.gif?900 |}} 
 +===== 5. Exerciții de laborator ===== 
 + 
 +1.Vi s-a asignat rolul de nou coordonator al departamentul de rețelistică al companiei Coca Cola (Pepsi petru cei cărora nu le place Cola). Sediul companiei are arondate N-1 sucursale, iar voi trebuie să asigurațu conectivitate între toate locațiile folosind o lungime minimă de fibră optică, lucru care duce implicit la reducerea costurilor totale.  
 + 
 +<file cpp> 
 +# explicatii format  
 +# n=numar varfuri m=numar muchii 
 +# m randuri, cate unul pentru fiecare muchiestart end cost 
 +8 13   
 +1 2 4  
 +1 3 9 
 +1 4 1 
 +1 6 7 
 +2 3 12 
 +2 4 4 
 +3 8 13 
 +4 5 7 
 +4 6 8 
 +5 6 3 
 +5 7 6 
 +5 8 5 
 +7 8 2 
 +</file> 
 + 
 +====5.1. Exerciții - schelet de laborator==== 
 +Pentru acest laborator puteți descărca scheletul de cod de [[http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab6_arbori_min-skel.zip|aici]]. Descărcați arhiva și dezarhivați-o.  
 + 
 +=== Linux=== 
 +Puteti folosi utilitarul ''%%wget%%'' pentru descarcare si utilitarul ''%%unzip%%'' pentru dezarhivare. 
 + 
 +  * ''%%wget http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab6_arbori_min-skel.zip%%'' 
 +  * ''%%unzip lab6_arbori_min-skel.zip%%'' 
 + 
 +Pentru compilare folositi comanda ''%%make%%''. Pentru rulare puteti folosi comanda ''%%make run%%'' sau ''%%./graph%%''
  
-<code> +==== Extra ==== 
-1Declarăm matricile: +  - Se dă un graf care coincide cu un arbore minim de acoperireVerificaţi dacă, introducând nouă muchie în grafcostul arborelui minim de acoperire se schimbă şi, dacă dagăsiţmuchia ce va fi scoasă. 
- distmatrice N x N şi iniţializăm dist[i][j] = infinitpentru orice i şi +  - Se dă un graf care coincide cu un arbore minim de acoperire şun vector(Vcu K noduri din grafCare este costul minim al muchiilor pe care trebuie să le eliminaţi din graf pentru ca fiecare nod din vectorul V să se afle în altă componentă conexă. (Să nu existe drum între oricare două noduri din vectorul V). 
- nextmatrice N x N în care vom salva prima muchie din drumul i-j de cost minim +  - Se dă un graf care coincide cu un arbore minim de acoperire şi un nod auxiliar care formează doar două muchii. Verificaţi dacă folosirea nodului auxiliar pentru a conecta nodurile duce la un arbore de acoperire cu un cost mai mic.
- //next este necesar doar în cazul în care ne interesează muchiile folosite +
-//pasul k = 0 +
-2. Pentru fiecare nod v +
- 1. dist[v][v] = 0; +
-3. Pentru fiecare pereche (u,v) a.i. există muchie de la u la v +
- 1dist[u][v] = costMuchie(u,v); +
- 2. next[u][v] = v; //pentru urmărirea muchiilor ce compun drumul +
-//am terminat pasul k = 0 +
-4. Pentru fiecare pas k (de la 1 la N) +
- 1. Pentru fiecare nod i (de la 1 la N) +
- 1Pentru fiecare nod (de la 1 la N) +
- 1calculăm costul nou = dist[i][k] + dist[k][j]; +
- 2. comparăm costul nou cu costul vechi = dist[i][j] +
-  dacă mai bun costul nou: +
- 1dist[i][j] = costul nou; +
- 2. next[i][j] = next[i][k]; //pentru urmărirea muchiilor +
- altfel păstrăm costul vechi +
-</code>+
  
-===== 5.Exiciții laborator ====== 
  
-===== 6.Referințe ====== +===== 6. Referințe ===== 
-    - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm|Algoritmul lui Dijkstra]] +  - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Minimum_spanning_tree|Minimum spanning tree]] 
-    - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Bellman%E2%80%93Ford_algorithm|Algoritmul lui Bellman Ford]] +  - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal%27s_algorithm|Algoritmul lui Kruskal]] 
-    - [[http://www.algorithmist.com/index.php/Floyd-Warshall's_Algorithm|Algoritmul lui Floyd-Warshall]] +  - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Prim%27s_algorithm|Algoritmul lui Prim]] 
-    - [[https://profs.info.uaic.ro/~busaco/teach/courses/net/docs/protocoale_rutare.pdf|Protocoale de rutare]] +  - [[http://www.bogdanturcanu.ro/spanning-tree-protocol-stp/|Protocolul STP]] 
-    - [[http://example.com|Link extern]]+  - [[https://en.wikipedia.org/wiki/Image_segmentation|Segmentarea de imagini]]
laboratoare/laborator-07.1491058405.txt.gz · Ultima modificare: 2017/04/01 17:53 de către mihai.iacov