Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.
Ambele părți revizuirea anterioară Versiuni anterioare Urmatoarea versiune | Versiuni anterioare | ||
laboratoare:laborator-05 [2017/03/19 00:27] mihai.iacov [4.2.1 Implementare] |
laboratoare:laborator-05 [2018/02/25 22:42] (curent) mihai.iacov |
||
---|---|---|---|
Linia 1: | Linia 1: | ||
- | ====== Laborator 05: Introducere în teoria grafurilor | + | ====== Laborator 05: Arbori |
\\ | \\ | ||
=====1 Obiectivele laboratorului===== | =====1 Obiectivele laboratorului===== | ||
- | *Definirea structurii | + | *Înțelegerea noțiunii de arbore |
- | *Definirea | + | *Citirea unei expresii matematice și construirea arborelui binar asociat |
+ | *Înțelegerea | ||
+ | *Realizarea diferitelor operații folosint arborii binari de căutare | ||
+ | \\ | ||
+ | ===== Noţiuni introductive===== | ||
+ | ===Definiţie generală=== | ||
- | =====2 Grafuri neorientate===== | + | Un arbore poate fi definit ca: structură de date ce conţine noduri şi legături, fără circularitate. Un arbore poate fi văzut ca o extindere |
- | ====2.1 Definiție==== | + | |
- | Un **graf neorientat** este o pereche ordonată de multimi(X,U),unde: | + | |
- | *X este o mulțime finită și nevidă de elemente numite | + | |
- | *U este o mulțime | + | |
- | ====2.2 Structură==== | + | ===Rădăcină(Root)=== |
+ | Numim rădăcină primul nod al arborelui(echivalentul capului de listă). | ||
- | #poate o poza si continuare cu exemplu rezolvat# | + | ===Copil - Părinte(Child - Parent)=== |
+ | Nodul P este părintele nodului C dacă are legătură către C(similar, C este copilul lui P). | ||
+ | * Pot apărea şi alţi termeni pentru relaţia dintre noduri: fraţi(siblings), | ||
- | Un graf are următoarele elemente: | + | <note tip>Rădăcina NU poate fi nod-copil.</ |
- | * **Mulțimea nodurilor X** - Mulțimea tuturor nodurilor grafului | + | |
- | * **Multimea muchiilor U** - Mulțimea tuturor muchiilor grafului | + | |
- | * **Gradul nodului** - numărul de muchii formate cu ajutorul nodului respectiv | + | |
- | * **Nod izolat** - Un nod ce nu formează nici-o muchie | + | |
- | * **Noduri terminale** - Un nod ce formează o singură muchie | + | |
- | * **Noduri adiacente** - Noduri intre care există o muchie | + | |
- | * **Nod si muchie incidente** - Nodul face parte dintr-o muchie | + | |
- | <note important> | + | ===Gradul(Degree)=== |
- | <note important> | + | Gradul unui nod este egal cu numărul de copii ai acestuia. |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | ====2.3 Reprezentare ==== | + | ===Frunză(Leaf) şi nod intern/ |
- | * **Matricea de adiacență** - este o matrice | + | Numim frunză un nod fără copii(**nod terminal**). |
- | *a[i,j] = 1 ,dacă ∃ muchia [i,j] cu i≠j | + | |
- | *a[i,j] = 0 ,în caz contrar | + | |
- | * **Lista de adiacență** - este un tablou de liste egal cu numarul de varfuri; | + | |
- | * **Vectorul de muchii** - mulțime ce conține toate muchiile grafului | + | |
- | {{ : | + | ===Urmaş(Descendant)=== |
+ | Nodul U este urmaşul nodului S dacă putem " | ||
- | Având lista de adiacentă: | + | ===Strămoş(Ancestor)=== |
- | * **A**: | + | Nodul S este strămoşul nodului U dacă U este urmaşul lui S(putem " |
- | * **B**: | + | <note tip> |
- | * **C**: | + | |
- | * **D**: | + | |
- | * **E**:B→D | + | |
- | <note importante> | + | ===Înălţime(Height)=== |
- | Un **graf parțial** este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea uneia sau mai multor muchii | + | Definim înălţimea unui nod egală cu numărul de legături pe care " |
- | </ | + | <note tip> |
+ | ===Adâncime(Depth)=== | ||
+ | Definim adâncimea unui nod egală cu cu numărul de legături pe care " | ||
+ | <note tip> | ||
- | <note importante> | + | ===Nivel(Level)=== |
- | Un **subgraf** este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea | + | Definim nivelul |
- | </ | + | |
- | <note importante> | + | ===Pădure(Forest)=== |
- | Se numește **lanț** într-un graf,o succesiune | + | Numim pădure |
- | Se numeşte **lanţ elementar** un lanţ în care nu se repetă vârfuri. | + | ===Vector de taţi(Parent array/ |
- | Se numeşte **lanţ simplu** un lanţ în care nu se repetă muchii. | + | Vectorul de taţi reprezintă o soluţie ieftină(d.p.d.v. al memoriei) de reprezentare a unui arbore atunci când nodurile pot avea un număr diferit de legături. În acest caz, ne putem folosi de faptul că **fiecare nod-copil are un singur părinte**, indiferent de câţi copii are părintele respectiv. **Rădăcina** arborelui este singura **excepţie**. |
- | Se numeşte **ciclu** un lanţ simplu pentru care primul şi ultimul vârf coincid. | + | <file cpp> |
+ | //fie n = nr. de noduri | ||
+ | //nodurile sunt numerotate de la 0 la n-1 | ||
+ | //fie doua noduri numerotate cu indicii A si B | ||
+ | Parent[A] = B; // Parintele nodului A este nodul B | ||
+ | //fie Root nodul radacina | ||
+ | Parent[Root] = -1; //nu exista nod numerotat cu -1 | ||
+ | </ | ||
- | Se numeşte | + | =====2 Arbori binari===== |
- | </ | + | ====2.1 Definiție==== |
+ | Un arbore binar este alcătuit din noduri, unde fiecare nod conține un pointer către " | ||
+ | Pointer-ul "root (rădăcină)" | ||
+ | Arborii sunt folosiți in general pentru a modela o ierarhie de elemente.Astfel, | ||
+ | Un nod fără descendenți este un **nod terminal**, sau **nod frunză**.\\ | ||
+ | {{ : | ||
+ | # poza arbore#}} | ||
- | =====3 Grafuri orientate===== | + | ====Alte noţiuni introductive==== |
- | ====3.1 Definiție==== | + | ===Arbore binar plin=== |
- | Un **graf orientat** | + | Un arbore binar este plin dacă nu există niciun nod intern la care mai putem lega un nod-copil nou(Toate nodurile, în afară de frunze, au număr maxim de copii). |
- | *X este o mulțime finită și nevidă numită mulțimea nodurilor(vârfurilor) | + | |
- | *U este o mulțime formată din **perechi ordonate** | + | |
- | ====3.2 Structură==== | + | ===Arbore binar complet=== |
- | Într-un graf orientat, distingem: | + | Un arbore binar este complet dacă fiecare nivel(**cu posibila excepţie a ultimului**) este complet ocupat. |
- | * **gradul interior/ | + | |
- | | + | |
- | <note important> | + | ===Arbore binar perfect=== |
+ | Un arbore binar este perfect dacă este complet ocupat pe fiecare nivel(fără excepţii). | ||
- | ====3.3 Reprezentare==== | + | <note important> |
- | **Matricea | + | |
- | *a[i,j] = 1 ,dacă ∃ arcul (i,j) în mulțimea U | + | |
- | | + | |
- | {{ : | ||
+ | ====2.2 Reprezentare==== | ||
+ | Structura nodului unui arbore este urmatarea: | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | struct node { | ||
+ | int data; | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | }; | ||
+ | </ | ||
+ | |||
+ | ====2.3 Parcurgere==== | ||
+ | * **În adâncime** | ||
+ | * **Preordine (RSD)** | ||
+ | *Se parcurge rădăcina | ||
+ | *Se parcurge subarborele stâng | ||
+ | *Se parcurge subarborele drept | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | void search_tree_preordine (tree *root) { | ||
+ | if( root!=NULL){ | ||
+ | cout << root-> | ||
+ | search_tree_preordine(root-> | ||
+ | search_tree_preordine(root-> | ||
+ | } | ||
+ | } | ||
+ | </ | ||
+ | * **Inordine (SRD)** | ||
+ | *Se parcurge subarborele stâng | ||
+ | *Se parcurge rădăcina | ||
+ | *Se parcurge subarborele drept | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | void search_tree_inordine(tree *root){ | ||
+ | if( root!=NULL){ | ||
+ | search_tree_inordine(root-> | ||
+ | cout << root-> | ||
+ | search_tree_inordine(root-> | ||
+ | } | ||
+ | } | ||
+ | </ | ||
+ | * **Postordine** | ||
+ | *Se parcurge subarborele stâng | ||
+ | *Se parcurge subarborele drept | ||
+ | *Se parcurge rădăcina | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | void search_tree_postordine(tree *root){ | ||
+ | if( root!=NULL){ | ||
+ | search_tree_postordine(root-> | ||
+ | search_tree_postordine(root-> | ||
+ | cout << root-> | ||
+ | } | ||
+ | } | ||
+ | </ | ||
+ | * **În lățime**\\ | ||
+ | Această parcurgere reprezintă vizitarea "nivel cu nivel" a arborelui.\\ | ||
+ | De exemplu, vom obține j, | ||
+ | tree | ||
+ | --- | ||
+ | j < | ||
+ | / \ | ||
+ | f | ||
+ | / \ | ||
+ | a | ||
+ | \ | ||
+ | d < | ||
+ | | ||
\\ | \\ | ||
+ | Vom folosi acest tip de parcurgere pentru a evidenția: | ||
+ | *ierarhia posturilor unei companii, | ||
+ | *un arbore genealogic, | ||
+ | *arborele unui joc (unde rădăcina reprezintă starea curentă, | ||
- | Matricea **vârfuri-arce** este o matrice **B** cu n = |X| linii și m = |U| coloane,în care fiecare element **b[i,j]** este: | + | //Cum se realizează această implementare?// |
- | * **1** ,dacă nodul i este o extremitate inițială a arcului | + | Vom folosi |
- | * **-1** | + | Coada ne dă posibilitatea să scoatem prima informație,prima băgată => |
- | * **0** ,dacă nodul i nu este o extremitate a arcului | + | |
- | {{ :laboratoare: | + | **Observatie!**\\ |
+ | Nodurile frunză nu au descendenți:nodul stâng și nodul drept pointează la NULL și nu trebuie adăugate în coadă. | ||
- | =====4 Parcurgerea grafurilor===== | + | =====3 Arbori binari de căutare===== |
- | ====4.1 Parcurgerea în lățime==== | + | ====3.1 Definiție==== |
+ | Un arbore binar de căutare este un arbore binar care are în plus următoarele proprietăți: | ||
+ | *Cheile stocate în noduri (informația utilă) aparțin unei mulțimi peste care există o relație de ordine. | ||
+ | *Cheia dintr-un nod oarecare este //mai mare// decât cheile tuturor nodurilor din subarborele stâng si este //mai mică// decât cheile tuturor nodurilor ce compun subarborele drept.\\ | ||
- | Parcurgerea în lățime | + | Astfel,**valoarea maximă** dintr-un arbore binar de căutare se află în nodul din extremitatea dreaptă și se determină prin coborârea |
- | | + | **Observatie!**\\ |
- | * vecinii nodului sursă (reprezentând nivelul 1) | + | Parcurgerea // |
- | * vecinii încă nevizitați ai nodurilor de pe nivelul 1 (reprezentând nivelul 2) | + | |
- | | + | |
+ | ====3.2 Operații==== | ||
+ | * **Căutarea** unei chei într-un arbore binar de căutare este asemănătoare căutării binare: | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | | ||
+ | \\ | ||
+ | * **Înserarea** unui nod se face,în funcție de rezultatul comparației cheilor,în subarborele stâng sau drept.Dacă arborele este vid,se creează un nod care devine nodul rădăcină al arborelui.În caz contrar, | ||
+ | \\ | ||
+ | * **Ștergerea** unui nod este o operație puțin mai complicată, | ||
+ | *nodul de șters nu există => operația se consideră încheiată | ||
+ | *nodul de șters nu are succesori => este o frunză | ||
+ | *nodul de șters are un singur succesor => nodul se va șterge și se refac legăturile în arbore | ||
+ | *nodul de șters are doi succesori => se parcurge arborele drept, | ||
- | ===4.1.1 Implementare=== | + | =====4 Aplicații===== |
+ | ====4.1 | ||
+ | {{ : | ||
+ | \\ | ||
+ | In general, | ||
+ | Primul pas în compilarea unui program este parsarea codului sursă pentru a produce un Abstract Syntax Tree.Programele sunt scrise sub formă de text,deci vom avea o secvență de caractere, | ||
+ | Aici intervine rolul unui: | ||
+ | *lexer[5] care recunoaște șiruri ce aparțin unei gramatici strict prestabilite | ||
+ | *parser care grupează șirurile structurat după o anumită regulă și adesea produc un AST\\ | ||
- | Pe masură ce algoritmul avansează,se colorează nodurile în felul următor: | + | Să considerăm o expresie matematică:2 + 4*5 + 1*2*3\\ |
- | * **alb** - nodul este nedescoperit încă | + | Pentru |
- | * **gri** - nodul a fost descoperit și este în curs de procesare | + | *stivă rezultat |
- | * **negru** - procesarea nodului s-a încheiat | + | *stivă de operatori - folosit pentru a reține operatorii\\ |
- | Se păstrează informațiile despre distanța până la nodul sursă. | + | + |
- | Se obține arborele BFS | + | / \ |
+ | | ||
+ | / \ | ||
+ | * * | ||
+ | / \ / \ | ||
+ | 4 5 1 * | ||
+ | / \ | ||
+ | | ||
- | \\ | ||
- | Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (Q) în care inițial se află doar nodul sursă.Se vizitează pe rând vecinii acestui nod și se pun și ei în coadă.În momentul în care nu mai există vecini nevizitați, | ||
- | <file cpp> | + | \\ |
- | Pentru fiecare nod u din graf | + | \\ |
- | { | + | <note tip>**Algoritmul presupune: |
- | culoare[u]=alb | + | - Se parcurge expresia, |
- | d[u] = infinit | + | - Dacă termenul curent este operand\\ |
- | p[u] = null // | + | - Aceasta se adaugă in stivă rezultat și se trece la termenul urmator\\ |
- | } | + | - Daca termenul curent este operator ($)\\ |
+ | - Daca stiva operatorilor este vidă,se adaugă operatorul | ||
+ | - Dacă stiva nu este vidă:\\ | ||
+ | - Și operatorul curent are prioritate mai mare decât capul stivei (ex: crt este *, | ||
+ | *se adaugă operatorul în stivă și se trece la termenul următor\\ | ||
+ | - Și operatorul curent are prioritate mai mică decât capul stivei (ex: crt este +, | ||
+ | *Se scot din stivă rezultatele ultimelor două rezultate\\ | ||
+ | *Se scoate un operator din stiva operatorilor \\ | ||
+ | *Se creează un nou rezultat intermediar, | ||
+ | *Acest rezultat intermediar se adaugă în stiva de rezultate\\ | ||
+ | *Se verifică condițiile de la $(se compară din nou același operator curent cu operatorul din vârful stivei). | ||
+ | </ | ||
- | culoare[sursă]=gri | ||
- | d[sursă]=0 | ||
- | enqueue(Q, | ||
- | Cât timp coada Q nu este vidă | + | {{ : |
- | { | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | dacă culoare[u] == alb | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | p[u] = v | + | |
- | d[u] = d[v] + 1 | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | } | + | |
- | </ | + | =====5.1. Exerciții - schelet de laborator==== |
- | \\ | + | Pentru acest laborator puteți descărca scheletul de cod de [[http:// |
- | **Exemplu** | + | |
- | {{ : | + | |
- | ====4.2 Parcurgerea în adâncime==== | + | === Linux=== |
- | Parcurgea în adâncime **(Depth-First-Search -DFS)** presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine: | + | Puteti folosi utilitarul '' |
- | | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | *ș.a.m.d | + | |
- | *În momentul în care am epuizat vecinii unui nod //Vn//, continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior,// | + | |
- | Această metoda de parcurgere pune prioritate pe explorarea **în adâncime** (pe distanțe tot mai mari față de nodul sursă). | + | |
+ | | ||
- | ====4.2.1 Implementare==== | + | Pentru compilare folositi comanda '' |
+ | =====5.2. Exerciții==== | ||
+ | - Se dă un vector cu n întregi. Scrieţi o funcţie care să creeze un arbore binar de căutare cu valorile din vector. | ||
+ | - Se dă un arbore binar ce stochează întregi. Scrieţi o funcţie care verifică dacă arborele este binar de căutare. | ||
+ | - Se dă un arbore binar de căutare ce stochează | ||
+ | - Acelaşi arbore – inserare(şi să rămână arbore de căutare) | ||
+ | - Acelaşi arbore – ştergere(şi să rămână arbore de căutare) | ||
- | Spre deosebire de BFS, DFS utilizează o **stivă** | + | Puteţi testa primele 5 exerciţii |
- | <file cpp> | + | ===Problemă întreagă=== |
- | funcţie pasDFS(curent) | + | * Să se realizeze stocul unei farmacii, |
- | { | + | |
- | pentru fiecare u dintre vecinii nodului curent | + | |
- | dacă culoare[u] | + | |
- | { | + | |
- | | + | |
- | p[u] = curent | + | |
- | d[u] = d[curent] + 1 | + | |
- | | + | |
- | } | + | |
- | culoare[curent] | + | |
- | //ieşirea din funcţie este echivalentă cu eliminarea unui element din stivă | + | |
- | } | + | |
- | Pentru fiecare nod u din graf | + | |
- | { | + | |
- | | + | |
- | | + | |
- | p[u] = null | + | |
- | } | + | |
- | culoare[sursă] = gri; | + | |
- | d[sursă] = 0; | + | |
- | //se apelează iniţial pasDFS(sursă) | + | Evidența medicamentelor se ține cu un program care are drept structură de date un arbore de căutare după nume medicament. |
+ | Să se scrie programul care execută următoarele operații: | ||
+ | *Creează arborele de căutare | ||
+ | *Caută un nod după câmpul nume medicament și actualizează câmpurile de informare | ||
+ | *Tipăreste medicamentele în ordine lexicografică | ||
+ | *Elimină un nod identificat prin nume medicament | ||
+ | *Creează un arbore de căutare cu medicamentele care au data de expirare mai " | ||
+ | *Determinați greutatea(fie greutatea = numărul de frunze) arborelui și verificați dacă este binar complet sau nu | ||
+ | |||
+ | ===Probleme de interviu=== | ||
+ | * Se dă V(un vector de n întregi) şi P(un vector de taţi de lungime n). Verificaţi dacă se poate construi un arbore binar de căutare cu valorile din V şi legăturile copil-părinte din P. | ||
+ | * Fie un arbore binar perfect cu înălţimea H. Creaţi (H + 1) vectori/liste, câte unul/una pentru fiecare nivel din arbore. Afişaţi fiecare nivel(parcurgerea în lăţime) cu ajutorul vectorilor/ | ||
+ | * Găsiţi cel mai apropiat strămoş comun pentru două noduri dintr-un arbore binar. | ||
+ | * Se dau doi arbori binari cu întregi, A1 şi A2, iar A1 conţine mult mai multe noduri decât A2. Verificaţi dacă A2 arată la fel ca un subarbore din A1.(“Arată la fel”, adică valorile întregi sunt aceleaşi) | ||
- | </ | ||
- | {{ : |