Interpretare a propoziției -> ce reprezintă propoziția în viața reală / în problema pe care o reprezentăm


P, Q, R (au o interpretare)

P => Q
și
Q => R
atunci
P => R (indiferent de interpretarea pentru P, Q, R)

(P => Q ^ Q => R) => (P => R) tautologie

Implicație

**fals implică orice**

Dacă premisa este falsă, atunci implicația este falsă, indiferent de adevărul concluziei.



pi premise
c concluzie

	dacă c derivă din premisele pi
echivalent cu
	p1 ^ p2 ^ ... ^ pn => c
echivalent cu
	!p1 V !p2 V ..... V !pn V c
echivalent cu
	!( p1 ^ p2 ^ ... ^ pn ^ !c )			reducere la absurd


p1 ^ p2 => c
<=>
!(p1 ^ p2) V c
<=>
!p1 V !p2 V c
<=>
!(p1 ^ p2 ^ !c)


(p => q) <=> (!q => p) <=> (!p V q)
! (p ^ q)  <=>  !p V !q


LPOI
====
												constante
				termeni							variabile
		(pot fi argumente de predicate)			aplicări de funcții
													nume + argumente (termeni)

niveluri

							simple - atomi (aplicări de predicate pe argumente)
				propoziții	
							compuse - propoziții simple + operatori logici



În Prolog:
X is 1 + 2
	is este predicat de două argumente
	+ este funcție
	
p(q(x))
	p este predicat
	q este funcție/structură/... -- termen





Sora Ioanei are un prieten deștept.

sora(X) -> întoarce acea persoană care este sora lui X
deștept(Y)
prieten(X, Y)

∃x. prieten(sora(ioana), X) ^ deștept(X)



Interpretare LPOI
-----------------

* domeniu concepte
* ce înseamnă fiecare constantă
* ce înseamnă fiecare funcție
* ce înseamnă fiecare predicat -> valoarea de adevăr pentru fiecare predicat în funcție de argumente


vrabie(x)
visează-mălai(x)

Vrabia mălai visează
∀x. vrabie(x) => visează-mălai(x)

Unele vrăbii visează mălai
∃x. vrabie(x) ^ visează-mălai(x)

De ce nu este:
∃x. vrabie(x) => visează-mălai(x)
dacă x nu este vrabie atunci implicația este adevărată
Este adevărat chiar dacă nicio vrabie nu visează mălai (în condițiile în care există indivizi care nu sunt vrăbii)

“Nu toate vrăbiile visează mălai.”
∃x.vrabie(x) ^ !visează-mălai(x)
echivalent cu
!( ∀x. vrabie(x) => visează-mălai(x) )


“Numai vrăbiile visează mălai.”
∀x. !vrabie(x) => !visează-mălai(x)
echivalent cu
∀x. visează-mălai(x) => vrabie(x)

∀ x. p(x) ^ q(x) echivalent cu ∀x.p(x) și ∀x.q(x)



Forma normal conjunctivă (FNC)
==============================

literal = atom sau negația unui atom
clauză = o mulțime de literali (are valoare disjunctivă)
	~ disjuncția literalilor
	
FNC = o mulțime de clauze (cu valoare conjunctivă între clauze)
	~ conjuncția clauzelor ~ o conjuncție de disjuncții de literali

(p V q V !r) ^ (q V t V x)  -- este în FNC
	clauză			clauză
literali:
p  q  !r		q  t  x


clauza
p V q V r V !t V !x V !y
echivalentă cu
(t ^ x ^ y) => (p V q V r)

Clauze Horn:
p1 ^ p2 ^ p3 => c
p1 ^ p2      <=>   p1      și    p2

În Prolog
c :- p1 ^ p2 ^ p3.
c.


Skolemizare

∃x.p(x) --skolemizare-->  p(Acel-Cineva)

∀x.∃y.mama(x, y) ~ oricine are o mamă
∀x.mama(x, mama_lui(x))    -funcție Skolem


“Cine rezolvă toate laboratoarele este apreciat de cineva.”

∀x.(∀lab.laborator(lab) => rezolva(x, lab)) => ∃cineva.apreciază(cineva, x)

1. Eliminare implicații     p => q   ~   !p V q

∀x. ! (∀lab. !laborator(lab) V rezolva(x, lab)) V ∃cineva.apreciază(cineva, x)

2. Împingem negațiile		! ∀x.p  ~  ∃x. !p
							! ∃x.p  ~  ∀x. !p
							! (p ^ q)  ~  !p V !q
							! (p V q)  ~  !p ^ !q

∀x. (∃lab. !(!laborator(lab) V rezolva(x, lab))) V ∃cineva.apreciază(cineva, x)
∀x. (∃lab. (laborator(lab) ^ !rezolva(x, lab))) V ∃cineva.apreciază(cineva, x)

3. Redenumire variabile
4. Deplasare cunatificatori

∀x.∃lab.∃cineva. (laborator(lab) ^ !rezolva(x, lab)) V apreciază(cineva, x)

5. Eliminarea cuantificatorilor existențiali

∀x.(laborator(ce-lab-nu-a-rez(x)) ^ !rezolva(x, ce-lab-nu-a-rez(x))) V 
			apreciază(cine_apreciază(x), x)

6. Eliminare cuantificatori universali

(laborator(ce-lab-nu-a-rez(x)) ^ !rezolva(x, ce-lab-nu-a-rez(x))) V 
			apreciază(cine_apreciază(x), x)

7. Distribuire disjuncție

(laborator(ce-lab-nu-a-rez(x)) V apreciază(cine_apreciază(x), x)) ^
(!rezolva(x, ce-lab-nu-a-rez(x) V apreciază(cine_apreciază(x), x)))

{ {laborator(ce-lab-nu-a-rez(x)), apreciază(cine_apreciază(x), x)} 
	{!rezolva(x, ce-lab-nu-a-rez(x), apreciază(cine_apreciază(x), x)}	 }