Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.
Ambele părți revizuirea anterioară Versiuni anterioare Urmatoarea versiune | Versiuni anterioare | ||
laboratoare:laborator-05 [2017/03/20 23:58] loredana.groza |
laboratoare:laborator-05 [2018/02/25 22:42] (curent) mihai.iacov |
||
---|---|---|---|
Linia 1: | Linia 1: | ||
- | ====== Laborator 05: Introducere în teoria grafurilor | + | ====== Laborator 05: Arbori |
\\ | \\ | ||
=====1 Obiectivele laboratorului===== | =====1 Obiectivele laboratorului===== | ||
- | *Definirea structurii | + | *Înțelegerea noțiunii de arbore |
- | *Definirea | + | *Citirea unei expresii matematice și construirea arborelui binar asociat |
+ | *Înțelegerea | ||
+ | *Realizarea diferitelor operații folosint arborii binari de căutare | ||
+ | \\ | ||
+ | ===== Noţiuni introductive===== | ||
+ | ===Definiţie generală=== | ||
- | =====2 Grafuri neorientate===== | + | Un arbore poate fi definit ca: structură de date ce conţine noduri şi legături, fără circularitate. Un arbore poate fi văzut ca o extindere |
- | ====2.1 Definiție==== | + | |
- | Un **graf neorientat** este o pereche ordonată de multimi(X,U),unde: | + | |
- | *X este o mulțime finită și nevidă de elemente numite | + | |
- | *U este o mulțime | + | |
- | ====2.2 Structură==== | + | ===Rădăcină(Root)=== |
+ | Numim rădăcină primul nod al arborelui(echivalentul capului de listă). | ||
- | Un graf are următoarele elemente: | + | ===Copil - Părinte(Child |
- | * **Mulțimea nodurilor X** - Mulțimea tuturor nodurilor grafului | + | Nodul P este părintele |
- | * **Multimea muchiilor U** - Mulțimea tuturor muchiilor grafului | + | * Pot apărea şi alţi termeni pentru relaţia dintre noduri: fraţi(siblings), |
- | * **Gradul nodului** - numărul de muchii formate cu ajutorul | + | |
- | * **Nod izolat** - Un nod ce nu formează nici-o muchie | + | |
- | * **Noduri terminale** - Un nod ce formează o singură muchie | + | |
- | * **Noduri adiacente** - Noduri intre care există o muchie | + | |
- | * **Nod si muchie incidente** - Nodul face parte dintr-o muchie | + | |
- | < | + | < |
- | <note important> | + | |
- | \\ | + | |
- | \\ | + | |
- | ====2.3 Reprezentare ==== | + | ===Gradul(Degree)=== |
- | * **Matricea de adiacență** - este o matrice **a** cu **n** linii și **n** coloane,în care elementele **a[i,j]** se definesc astfel: | + | Gradul unui nod este egal cu numărul de copii ai acestuia. |
- | | + | |
- | | + | |
- | * **Lista de adiacență** - este un tablou de liste egal cu numarul de varfuri;dacă există o muchie intre nodul curent si un alt nod,atunci acesta se trece în listă | + | |
- | * **Vectorul | + | |
- | {{ : | + | ===Frunză(Leaf) şi nod intern/ |
+ | Numim frunză un nod fără copii(**nod terminal**). | ||
+ | * Frunzele se mai numesc **noduri externe**. | ||
+ | * Nodurile care au copii se mai numesc **noduri interne**. | ||
- | Având lista de adiacentă: | + | ===Urmaş(Descendant)=== |
- | * **A**: | + | Nodul U este urmaşul nodului S dacă putem " |
- | * **B**: | + | |
- | * **C**: | + | |
- | * **D**: | + | |
- | * **E**:B→D | + | |
- | < | + | ===Strămoş(Ancestor)=== |
- | Un **graf parțial** | + | Nodul S este strămoşul nodului U dacă U este urmaşul lui S(putem " |
- | </ | + | < |
+ | ===Înălţime(Height)=== | ||
+ | Definim înălţimea unui nod egală cu numărul de legături pe care " | ||
+ | <note tip> | ||
- | <note importante> | + | ===Adâncime(Depth)=== |
- | Un **subgraf** este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea | + | Definim adâncimea |
- | </ | + | <note tip> |
- | <note importante> | + | ===Nivel(Level)=== |
- | Se numește **lanț** într-un graf,o succesiune de vârfuri L={v1, | + | Definim nivelul unui nod egal cu 1 + adâncimea. |
- | Se numeşte **lanţ elementar** un lanţ în care nu se repetă vârfuri. | + | ===Pădure(Forest)=== |
+ | Numim pădure o mulţime de N(de obicei N >= 2) arbori disjuncţi(care nu au noduri comune). | ||
- | Se numeşte **lanţ simplu** un lanţ în care nu se repetă muchii. | + | ===Vector de taţi(Parent array/ |
- | Se numeşte | + | Vectorul de taţi reprezintă o soluţie ieftină(d.p.d.v. al memoriei) de reprezentare a unui arbore atunci când nodurile pot avea un număr diferit de legături. În acest caz, ne putem folosi de faptul că **fiecare nod-copil are un singur părinte**, indiferent de câţi copii are părintele respectiv. **Rădăcina** arborelui este singura **excepţie**. |
- | Se numeşte **ciclu elementar** un ciclu în care nu se repetă vârfuri(excepţie primul şi ultimul). | + | <file cpp> |
- | </note> | + | //fie n = nr. de noduri |
+ | //nodurile sunt numerotate de la 0 la n-1 | ||
+ | //fie doua noduri numerotate cu indicii A si B | ||
+ | Parent[A] = B; // Parintele nodului A este nodul B | ||
+ | //fie Root nodul radacina | ||
+ | Parent[Root] = -1; //nu exista nod numerotat cu -1 | ||
+ | </file> | ||
- | =====3 Grafuri orientate===== | + | =====2 Arbori binari===== |
- | ====3.1 Definiție==== | + | ====2.1 Definiție==== |
- | Un **graf orientat** | + | |
- | *X este o mulțime finită și nevidă numită mulțimea nodurilor(vârfurilor) | + | Pointer-ul " |
- | *U este o mulțime formată din **perechi ordonate** de elemente ale lui X, | + | Arborii sunt folosiți in general pentru a modela o ierarhie de elemente.Astfel, |
+ | Un nod fără descendenți este un **nod terminal**, sau **nod frunză**.\\ | ||
+ | {{ : | ||
+ | # poza arbore#}} | ||
- | ====3.2 Structură==== | + | ====Alte noţiuni introductive==== |
- | Într-un graf orientat, distingem: | + | ===Arbore binar plin=== |
- | * **gradul interior/ | + | Un arbore binar este plin dacă nu există niciun |
- | * **gradul exterior/ | + | |
- | <note important> | + | ===Arbore binar complet=== |
+ | Un arbore binar este complet dacă fiecare nivel(**cu posibila excepţie a ultimului**) este complet ocupat. | ||
- | ====3.3 Reprezentare==== | + | ===Arbore binar perfect=== |
- | **Matricea de adiacență** - este o matrice **a** cu **n** linii și **n** coloane,în care elementele **a[i,j]** se definesc astfel: | + | Un arbore binar este perfect |
- | | + | |
- | | + | |
- | {{ : | + | <note important> |
- | \\ | ||
- | Matricea **vârfuri-arce** este o matrice **B** cu n = |X| linii și m = |U| coloane,în care fiecare element **b[i, | + | ====2.2 Reprezentare==== |
- | | + | Structura nodului unui arbore |
- | | + | <file cpp> |
- | * **0** ,dacă nodul i nu este o extremitate a arcului | + | struct node { |
+ | int data; | ||
+ | | ||
+ | struct node* right; | ||
+ | }; | ||
+ | </ | ||
- | {{ :laboratoare:graf3.png?300 |}} | + | ====2.3 Parcurgere==== |
+ | * **În adâncime** | ||
+ | * **Preordine (RSD)** | ||
+ | *Se parcurge rădăcina | ||
+ | *Se parcurge subarborele stâng | ||
+ | *Se parcurge subarborele drept | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | void search_tree_preordine (tree *root) | ||
+ | if( root!=NULL){ | ||
+ | cout << root-> | ||
+ | search_tree_preordine(root-> | ||
+ | search_tree_preordine(root-> | ||
+ | } | ||
+ | } | ||
+ | </ | ||
+ | * **Inordine (SRD)** | ||
+ | *Se parcurge subarborele stâng | ||
+ | *Se parcurge rădăcina | ||
+ | *Se parcurge subarborele drept | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | void search_tree_inordine(tree *root){ | ||
+ | if( root!=NULL){ | ||
+ | search_tree_inordine(root-> | ||
+ | cout << root-> | ||
+ | search_tree_inordine(root-> | ||
+ | } | ||
+ | } | ||
+ | </ | ||
+ | * **Postordine** | ||
+ | *Se parcurge subarborele stâng | ||
+ | *Se parcurge subarborele drept | ||
+ | *Se parcurge rădăcina | ||
+ | <file cpp> | ||
+ | void search_tree_postordine(tree *root){ | ||
+ | if( root!=NULL){ | ||
+ | search_tree_postordine(root-> | ||
+ | search_tree_postordine(root-> | ||
+ | cout << root-> | ||
+ | } | ||
+ | } | ||
+ | </ | ||
+ | * **În lățime**\\ | ||
+ | Această parcurgere reprezintă vizitarea "nivel cu nivel" a arborelui.\\ | ||
+ | De exemplu, vom obține j, | ||
+ | | ||
+ | --- | ||
+ | j < | ||
+ | / \ | ||
+ | f | ||
+ | / \ | ||
+ | a | ||
+ | \ | ||
+ | d < | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | Vom folosi acest tip de parcurgere pentru a evidenția: | ||
+ | *ierarhia posturilor unei companii, | ||
+ | *un arbore genealogic, | ||
+ | *arborele unui joc (unde rădăcina reprezintă starea curentă, | ||
- | =====4 Parcurgerea grafurilor===== | + | //Cum se realizează această implementare?// |
- | ====4.1 Parcurgerea | + | Vom folosi o // |
+ | Coada ne dă posibilitatea să scoatem prima informație, | ||
- | Parcurgerea în lățime | + | **Observatie!**\\ |
- | | + | Nodurile frunză nu au descendenți: |
- | * vecinii nodului sursă (reprezentând nivelul 1) | + | |
- | * vecinii încă nevizitați ai nodurilor de pe nivelul 1 (reprezentând nivelul 2) | + | |
- | * ș.a.m.d | + | |
+ | =====3 Arbori binari de căutare===== | ||
+ | ====3.1 Definiție==== | ||
+ | Un arbore binar de căutare este un arbore binar care are în plus următoarele proprietăți: | ||
+ | *Cheile stocate în noduri (informația utilă) aparțin unei mulțimi peste care există o relație de ordine. | ||
+ | *Cheia dintr-un nod oarecare este //mai mare// decât cheile tuturor nodurilor din subarborele stâng si este //mai mică// decât cheile tuturor nodurilor ce compun subarborele drept.\\ | ||
- | ===4.1.1 Implementare=== | + | Astfel, |
+ | **Observatie!**\\ | ||
+ | Parcurgerea // | ||
- | Pe masură ce algoritmul avansează,se colorează nodurile în felul următor: | + | ====3.2 Operații==== |
- | * **alb** - nodul este nedescoperit încă | + | * **Căutarea** unei chei într-un arbore binar de căutare este asemănătoare căutării binare: |
- | * **gri** - nodul a fost descoperit și este în curs de procesare | + | *acestea coincid => elementul a fost găsit |
- | | + | *elementul căutat |
- | Se păstrează informațiile despre distanța până la nodul sursă. | + | *elementul căutat este mai mare decât cheia din nodul curent => căutarea continuă in subarborele drept\\ |
- | Se obține | + | \\ |
+ | * **Înserarea** unui nod se face,în funcție | ||
+ | \\ | ||
+ | * **Ștergerea** unui nod este o operație puțin mai complicată, | ||
+ | *nodul de șters nu există => operația se consideră încheiată | ||
+ | *nodul de șters nu are succesori => este o frunză | ||
+ | | ||
+ | *nodul de șters are doi succesori => se parcurge | ||
+ | =====4 Aplicații===== | ||
+ | ====4.1 Abstract Syntax Tree (Construcție Parse Tree)==== | ||
+ | {{ : | ||
\\ | \\ | ||
- | Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (Q) în care inițial se află doar nodul sursă.Se vizitează pe rând vecinii acestui nod și se pun și ei în coadă.În momentul în care nu mai există vecini nevizitați,nodul sursă este scos din coadă. | + | In general, |
+ | Primul pas în compilarea unui program este parsarea codului | ||
+ | Aici intervine rolul unui: | ||
+ | *lexer[5] | ||
+ | *parser care grupează șirurile structurat după o anumită regulă și adesea produc un AST\\ | ||
- | <file cpp> | + | Să considerăm o expresie matematică: |
- | Pentru | + | Pentru |
- | { | + | *stivă rezultat - folosită pentru a reține operanzii si rezultatele intermediare ale operațiilor parcurse până la un moment dat |
- | culoare[u]=alb | + | *stivă de operatori - folosit pentru a reține operatorii\\ |
- | d[u] = infinit | + | + |
- | p[u] = null // | + | |
- | } | + | 2 + |
+ | / \ | ||
+ | * * | ||
+ | / \ / \ | ||
+ | 4 5 1 * | ||
+ | | ||
+ | 2 | ||
- | culoare[sursă]=gri | ||
- | d[sursă]=0 | ||
- | enqueue(Q, | ||
- | Cât timp coada Q nu este vidă | + | \\ |
- | { | + | \\ |
- | v=dequeue(Q) //extragem nodul v din coadă | + | <note tip> |
- | pentru fiecare u dintre vecinii lui v | + | - Se parcurge expresia, |
- | dacă culoare[u] == alb | + | - Dacă termenul curent este operand\\ |
- | { | + | - Aceasta se adaugă in stivă rezultat și se trece la termenul urmator\\ |
- | culoare[u] = gri | + | - Daca termenul curent este operator ($)\\ |
- | p[u] = v | + | - Daca stiva operatorilor este vidă,se adaugă operatorul in stiva de operatori și se trece la termenul urmator\\ |
- | d[u] = d[v] + 1 | + | - Dacă stiva nu este vidă:\\ |
- | enqueue(Q,u) //adăugăm nodul u în coadă | + | - Și operatorul curent are prioritate mai mare decât capul stivei (ex: crt este *, |
- | } | + | *se adaugă operatorul în stivă și se trece la termenul următor\\ |
- | culoare[v] = negru //am terminat explorarea vecinilor lui v | + | - Și operatorul curent are prioritate mai mică decât capul stivei |
- | } | + | *Se scot din stivă rezultatele ultimelor două rezultate\\ |
+ | *Se scoate un operator din stiva operatorilor \\ | ||
+ | *Se creează un nou rezultat intermediar, | ||
+ | | ||
+ | *Se verifică condițiile de la $(se compară din nou același operator curent cu operatorul din vârful stivei). | ||
+ | </ | ||
- | </ | + | {{ : |
- | \\ | + | |
- | **Exemplu** | + | |
- | {{ : | + | |
- | ====4.2 Parcurgerea în adâncime==== | ||
- | Parcurgea în adâncime **(Depth-First-Search -DFS)** presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine: | ||
- | | ||
- | | ||
- | | ||
- | | ||
- | *În momentul în care am epuizat vecinii unui nod //Vn//, continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior,// | ||
- | Această metoda | + | =====5.1. Exerciții - schelet |
+ | Pentru acest laborator puteți descărca scheletul | ||
- | ====4.2.1 Implementare==== | + | === Linux=== |
+ | Puteti folosi utilitarul '' | ||
- | Spre deosebire de BFS, DFS utilizează o **stivă** în loc de o coadă. Putem defini o stivă sau ne putem folosi de **stiva compilatorului**, | + | |
- | + | * '' | |
- | <file cpp> | + | |
- | funcţie pasDFS(curent) | + | |
- | { | + | |
- | pentru fiecare u dintre vecinii nodului curent | + | |
- | dacă culoare[u] == alb | + | |
- | { | + | |
- | | + | |
- | p[u] = curent | + | |
- | d[u] = d[curent] + 1 | + | |
- | | + | |
- | } | + | |
- | culoare[curent] = negru //am terminat explorarea vecinilor nodului curent | + | |
- | //ieşirea din funcţie este echivalentă cu eliminarea unui element din stivă | + | |
- | } | + | |
- | Pentru fiecare nod u din graf | + | |
- | { | + | |
- | | + | |
- | d[u] = infinit | + | |
- | p[u] = null | + | |
- | } | + | |
- | culoare[sursă] = gri; | + | |
- | d[sursă] = 0; | + | |
- | + | ||
- | //se apelează iniţial pasDFS(sursă) | + | |
- | + | ||
- | </ | + | |
- | {{ : | + | |
- | ===== 5. Exerciţii ===== | + | Pentru compilare folositi comanda '' |
- | Implementaţi, pentru fiecare cerinţă, câte o funcţie care: | + | =====5.2. Exerciții==== |
- | - creează matricea de adiacenţă pentru | + | - Se dă un vector cu n întregi. Scrieţi o funcţie care să creeze |
- | - calculează gradul fiecărui nod. Afişaţi numărul de noduri izolate şi numărul de noduri terminale. | + | - Se dă un arbore binar ce stochează întregi. Scrieţi o funcţie care verifică dacă arborele este binar de căutare. |
- | - primeşte | + | - Se dă un arbore binar de căutare ce stochează |
- | - primeşte un şir de noduri | + | - Acelaşi arbore – inserare(şi să rămână arbore |
- | - afişează matricea de adiacenţă a unui graf orientat construit astfel: | + | - Acelaşi arbore – ştergere(şi să rămână arbore |
- | * graful orientat are atâtea arce câte muchii are graful neorientat | + | |
- | * există arc în graful orientat între două noduri daca şi numai dacă există muchie între aceleaşi noduri în graful neorientat. | + | |
- | * Extra - câte astfel | + | |
- | Cerinţele 2, 3, 4 şi 5 se vor folosi de matricea de adiacenţă a grafului de la cerinţa 1. | + | Puteţi testa primele |
- | ====De interviu==== | + | ===Problemă întreagă=== |
- | * Plecând dintr-un nod K, verificaţi dacă puteţi găsi un ciclu în graf. | + | * Să se realizeze stocul unei farmacii, |
- | * Verificaţi dacă există un lanţ care uneşte nodurile sursă(S) şi destinaţie(D). Dacă există, cum puteţi găsi lanţul cu număr minim de muchii? | + | |
- | * Verificaţi dacă există un lanţ **hamiltonian** în graf. | + | |
- | * Verificaţi dacă există un lanţ **eulerian** în graf. | + | |
- | * Verificaţi dacă o muchie dată (A, B) este un **pod** pentru drumul de la S la D. | + | |
- | Un lanţ hamiltonian este un lanţ elementar(nu | + | Evidența medicamentelor |
+ | Să se scrie programul | ||
+ | *Creează arborele de căutare | ||
+ | *Caută un nod după câmpul nume medicament și actualizează câmpurile de informare | ||
+ | *Tipăreste medicamentele în ordine lexicografică | ||
+ | *Elimină un nod identificat prin nume medicament | ||
+ | *Creează un arbore de căutare cu medicamentele care au data de expirare mai " | ||
+ | *Determinați greutatea(fie greutatea = numărul de frunze) arborelui și verificați dacă este binar complet sau nu | ||
- | Un lanţ eulerian este un lanţ simplu(nu se repetă muchiile) care trece prin fiecare | + | ===Probleme de interviu=== |
+ | * Se dă V(un vector de n întregi) şi P(un vector de taţi de lungime n). Verificaţi dacă se poate construi un arbore binar de căutare cu valorile din V şi legăturile copil-părinte din P. | ||
+ | * Fie un arbore binar perfect cu înălţimea H. Creaţi (H + 1) vectori/ | ||
+ | * Găsiţi cel mai apropiat strămoş comun pentru două noduri dintr-un arbore binar. | ||
+ | * Se dau doi arbori binari cu întregi, A1 şi A2, iar A1 conţine mult mai multe noduri decât A2. Verificaţi dacă A2 arată la fel ca un subarbore din A1.(“Arată la fel”, adică valorile întregi sunt aceleaşi) | ||
- | Spunem că muchia (A, B) este pod pentru drumul de la S la D dacă orice lanţ care duce de la S la D trece prin muchia (A, B). |