Diferențe

Aici sunt prezentate diferențele dintre versiunile selectate și versiunea curentă a paginii.

Link către această vizualizare comparativă

--- laboratoare:laborator-05 [2017/03/18 23:29]
mihai.iacov [2.3 Reprezentare]
+++ laboratoare:laborator-05 [2018/02/25 22:42] (curent)
mihai.iacov
@@ Linia 1: / Linia 1: @@
-====== Laborator 05: Introducere în teoria grafurilor ======
+====== Laborator 05: Arbori ======
 \\
 =====1 Obiectivele laboratorului=====
-*Definirea structurii și elementelor unui graf neorientat
+*Înțelegerea noțiunii de arbore și a structurii unui arbore binar
-*Definirea structurii și elementelor unui graf orientat
+*Citirea unei expresii matematice și construirea arborelui binar asociat
+*Înțelegerea structurii și proprietăților unui arbore binar de căutare
+*Realizarea diferitelor operații folosint arborii binari de căutare
+\\
+===== Noţiuni introductive=====
+===Definiţie generală===
-=====2 Grafuri neorientate=====
+Un arbore poate fi definit ca: structură de date ce conţine noduri şi legături, fără circularitate. Un arbore poate fi văzut ca o extindere de la **lista simplu înlănţuită şi necirculară**, **eliminând** condiţia de a exista **o singură legătură** ce pleacă dintr-un nod, adică maxim un singur nod "următor".
-====2.1 Definiție====
-Un **graf neorientat** este o pereche ordonată de multimi(X,U),unde:
-*X este o mulțime finită și nevidă de elemente numite **noduri** sau **vârfuri**
-*U este o mulțime de perechi neordonate din X,numite **muchii**
-====2.2 Structură====
+===Rădăcină(Root)===
+Numim rădăcină primul nod al arborelui(echivalentul capului de listă).
-#poate o poza si continuare cu exemplu rezolvat#
+===Copil - Părinte(Child - Parent)===
+Nodul P este părintele nodului C dacă are legătură către C(similar, C este copilul lui P).
+  * Pot apărea şi alţi termeni pentru relaţia dintre noduri: fraţi(siblings), veri(cousins) etc.
-Un graf are următoarele elemente:
+<note tip>Rădăcina NU poate fi nod-copil.</note>
-* **Mulțimea nodurilor X** - Mulțimea tuturor nodurilor grafului
-* **Multimea muchiilor U** - Mulțimea tuturor muchiilor grafului
-* **Gradul nodului** - Suma muchiilor formate cu ajutorul nodului respectiv
-* **Nod izolat** - Un nod ce nu formează nici-o muchie
-* **Noduri terminale** - Un nod ce formează o singură muchie
-* **Noduri adiacente** - Noduri intre care există o muchie
-* **Nod si muchie incidente** - Nodul face parte dintr-o muchie
-\\
-\\
-====2.3 Reprezentare ====
+===Gradul(Degree)===
-* **Matricea de adiacență** - este o matrice **a** cu **n** linii și **n** coloane,în care elementele **a[i,j]** se definesc astfel:
+Gradul unui nod este egal cu numărul de copii ai acestuia.
-   *a[i,j] = 1 ,dacă ∃ muchia [i,j] cu i≠j
-   *a[i,j] = 0 ,în caz contrar
-* **Lista de adiacență** - este un tablou de liste egal cu numarul de varfuri;dacă există o muchie intre nodul curent si un alt nod,atunci acesta se trece în listă
-* **Vectorul de muchii** - mulțime ce conține toate muchiile grafului
-{{ :laboratoare:graf1.jpg?500 |}}
+===Frunză(Leaf) şi nod intern/extern(internal/external)===
+Numim frunză un nod fără copii(**nod terminal**).
+  * Frunzele se mai numesc **noduri externe**.
+  * Nodurile care au copii se mai numesc **noduri interne**.
-Având lista de adiacentă:
+===Urmaş(Descendant)===
-   * **A**:B→C→D
+Nodul U este urmaşul nodului S dacă putem "coborî"(mergând numai de la părinte la copil) de la S la U.
-   * **B**:A→D→E
-   * **C**:A→D
-   * **D**:A→B→C→D→E
-   * **E**:B→D
-<note importante>
+===Strămoş(Ancestor)===
-Un **graf parțial** este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea uneia sau mai multor muchii
+Nodul S este strămoşul nodului U dacă U este urmaşul lui S(putem "urca" de la U la S).
-</note>
+<note tip>Rădăcina este strămoşul tuturor celorlalte noduri din arbore.</note>
+===Înălţime(Height)===
+Definim înălţimea unui nod egală cu numărul de legături pe care "coborâm" de la acel nod la cea mai îndepărtată frunză.
+<note tip>înălţimea arborelui = înălţimea rădăcinii</note>
-<note importante>
+===Adâncime(Depth)===
-Un **subgraf** este un graf obținut din graful inițial prin eliminarea unui număr de noduri impreună cu muchiile formate cu acele noduri
+Definim adâncimea unui nod egală cu cu numărul de legături pe care "coborâm" de la rădăcină la nodul respectiv.
-</note>
+<note tip>adâncimea rădăcinii = 0</note>
-<note importante>
+===Nivel(Level)===
-Se numește **lanț** într-un graf,o succesiune de vârfuri L={v1,v2,...,vk},cu proprietatea că oricare două vârfuri consecutive sunt adiacente,adică există o muchie între acestea
+Definim nivelul unui nod egal cu 1 + adâncimea.
-Se numeşte **lanţ elementar** un lanţ în care nu se repetă vârfuri.
+===Pădure(Forest)===
+Numim pădure o mulţime de N(de obicei N >= 2) arbori disjuncţi(care nu au noduri comune).
-Se numeşte **lanţ simplu** un lanţ în care nu se repetă muchii.
+===Vector de taţi(Parent array/vector)===
-Se numeşte **ciclu** un lanţ simplu pentru care primul şi ultimul vârf coincid.
+Vectorul de taţi reprezintă o soluţie ieftină(d.p.d.v. al memoriei) de reprezentare a unui arbore atunci când nodurile pot avea un număr diferit de legături. În acest caz, ne putem folosi de faptul că **fiecare nod-copil are un singur părinte**, indiferent de câţi copii are părintele respectiv. **Rădăcina** arborelui este singura **excepţie**.
-Se numeşte **ciclu elementar** un ciclu în care nu se repetă vârfuri(excepţie primul şi ultimul).
+<file cpp>
-</note>
+//fie n = nr. de noduri
+//nodurile sunt numerotate de la 0 la n-1
+//fie doua noduri numerotate cu indicii A si B
+Parent[A] = B; // Parintele nodului A este nodul B
+//fie Root nodul radacina
+Parent[Root] = -1; //nu exista nod numerotat cu -1
+</file>
-=====3 Grafuri orientate=====
+=====2 Arbori binari=====
-====3.1 Definiție====
+====2.1 Definiție====
-Un **graf orientat** este o pereche ordonată de mulțimi G={X,U},unde:
+ Un arbore binar este alcătuit din noduri, unde fiecare nod conține un pointer către "stânga" și un pointer către "dreapta" și un element de tip dată.\\
-   *X este o mulțime finită și nevidă numită mulțimea nodurilor(vârfurilor)
+Pointer-ul "root (rădăcină)" reprezintă adresa celui mai de sus nod din arbore.Pointerii din "stânga" și "drepta" punctează în mod recursiv, pe fiecare aprte, la //subarbori// mai mici.\\
-   *U este o mulțime formată din **perechi ordonate** de elemente ale lui X,numită mulțimea arcelor
+Arborii sunt folosiți in general pentru a modela o ierarhie de elemente.Astfel,fiecare element **(nod)** poate deține un număr de unul sau mai mulți descentenți,iar în acest caz nodul este numit **părinte** al nodului descendent.\\
+Un nod fără descendenți este un **nod terminal**, sau **nod frunză**.\\
+{{ :laboratoare:arborebinar.png?400 |
+# poza arbore#}}
-====3.2 Structură====
+====Alte noţiuni introductive====
-poza
+===Arbore binar plin===
-\\
+Un arbore binar este plin dacă nu există niciun nod intern la care mai putem lega un nod-copil nou(Toate nodurile, în afară de frunze, au număr maxim de copii).
-====3.3 Reprezentare====
+===Arbore binar complet===
-**Matricea de adiacență** - este o matrice **a** cu **n** linii și **n** coloane,în care elementele **a[i,j]** se definesc astfel:
+Un arbore binar este complet dacă fiecare nivel(**cu posibila excepţie a ultimului**) este complet ocupat.
-   *a[i,j] = 1 ,dacă ∃ arcul (i,j) în mulțimea U
-   *a[i,j] = 0 ,în caz contrar
-{{ :laboratoare:graf2.png?400 |}}
+===Arbore binar perfect===
+Un arbore binar este perfect dacă este complet ocupat pe fiecare nivel(fără excepţii).
-\\
+<note important>Puteţi întâlni **variante diferite** pentru ultimele trei definiţii şi, de aceea, pot apărea confuzii legate de semnificaţia termenilor **plin, complet şi perfect**. În cazul în care aveţi de lucrat cu arbori binari plini/compleţi/perfecţi, asiguraţi-vă că toată lumea se referă la aceleaşi noţiuni.</note>
-Matricea **vârfuri-arce** este o matrice **B** cu n = |X| linii și m = |U| coloane,în care fiecare element **b[i,j]** este:
-   * **1** ,dacă nodul i este o extremitate inițială a arcului
-   * **-1** ,dacă nodul i este o extremitate finală a arcului
-   * **0** ,dacă nodul i nu este o extremitate a arcului
-{{ :laboratoare:graf3.png?300 |}}
+====2.2 Reprezentare====
+Structura nodului unui arbore este urmatarea:
+<file cpp>
+struct node {
+     int data;
+     struct node* left;
+     struct node* right;
+};
+</file>
-=====4 Parcurgerea grafurilor=====
+====2.3 Parcurgere====
-====4.1 Parcurgerea în lățime====
+* **În adâncime**
+   * **Preordine (RSD)**
+        *Se parcurge rădăcina
+        *Se parcurge subarborele stâng
+        *Se parcurge subarborele drept
+<file cpp>
+void search_tree_preordine (tree *root) {
+     if( root!=NULL){
+          cout << root->data <<"\n";
+          search_tree_preordine(root->left);
+          search_tree_preordine(root->right);
+     }
+}
+</file>
+   * **Inordine (SRD)**
+        *Se parcurge subarborele stâng
+        *Se parcurge rădăcina
+        *Se parcurge subarborele drept
+<file cpp>
+void search_tree_inordine(tree *root){
+     if( root!=NULL){
+          search_tree_inordine(root->left);
+          cout << root->data <<"\n";
+          search_tree_inordine(root->right);
+     }
+}
+ </file>
+   * **Postordine**
+        *Se parcurge subarborele stâng
+        *Se parcurge subarborele drept
+        *Se parcurge rădăcina
+<file cpp>
+void search_tree_postordine(tree *root){
+     if( root!=NULL){
+          search_tree_postordine(root->left);
+          search_tree_postordine(root->right);
+          cout << root->data <<"\n";
+     }
+}
+</file>
+* **În lățime**\\
+Această parcurgere reprezintă vizitarea "nivel cu nivel" a arborelui.\\
+De exemplu, vom obține j,f,k,a,h,z,d pentru arborele:
+     tree
+     ---
+      j       <--level 0
+     / \
+    f   k     <--level 1
+   / \   \
+  a   h   z   <--level 2
+   \
+    d         <--level 3
+\\
+Vom folosi acest tip de parcurgere pentru a evidenția:
+*ierarhia posturilor unei companii,
+*un arbore genealogic,
+*arborele unui joc (unde rădăcina reprezintă starea curentă,nivelul 1 posibilele mele mutări,nivelul 2 posibilele mutări ale adversarului,nivelul 3 posibilele mele mutari și tot așa).\\
-Parcurgerea în lățime **(Breadth-First-Search -BFS)** este o metodă ce presupune vizitarea nodurilor în următoarea ordine:
+//Cum se realizează această implementare?//\\
-   * nodul sursă (considerat a fi pe nivelul 0)
+Vom folosi o //coadă// în care vom introduce rădăcina, apoi informația din stânga, apoi informația din dreapta, apoi coborând pe subarborele stâng procedăm la fel, iar după ne vom întoarce pe subarborele drept să aplicăm aceeași operație și tot așa până vom ajunge la frunze.\\
-   * vecinii nodului sursă (reprezentând nivelul 1)
+Coada ne dă posibilitatea să scoatem prima informație,prima băgată =>ierarhia.\\
-   * vecinii încă nevizitați ai nodurilot de pe nivelul 1 (reprezentând nivelul 2)
-   * ș.a.m.d
+**Observatie!**\\
+Nodurile frunză nu au descendenți:nodul stâng și nodul drept pointează la NULL și nu trebuie adăugate în coadă.
-===4.1.1 Implementare===
+=====3 Arbori binari de căutare=====
+====3.1 Definiție====
+Un arbore binar de căutare este un arbore binar care are în plus următoarele proprietăți:
+*Cheile stocate în noduri (informația utilă) aparțin unei mulțimi peste care există o relație de ordine.
+*Cheia dintr-un nod oarecare este //mai mare// decât cheile tuturor nodurilor din subarborele stâng si este //mai mică// decât cheile tuturor nodurilor ce compun subarborele drept.\\
-Pe masură ce algoritmul avansează,se colorează nodurile în felul următor:
+Astfel,**valoarea maximă** dintr-un arbore binar de căutare se află în nodul din extremitatea dreaptă și se determină prin coborârea pe subarborele drept,iar **valoarea minimă** se află în nodul din extremitatea stângă.\\
-   * **alb** - nodul este nedescoperit încă
+**Observatie!**\\
-   * **gri** - nodul a fost descoperit și este în curs de procesare
+Parcurgerea //inordine// produce o secvență ordonată crescător a cheilor din nodurile arborelui.\\
-   * **negru** - procesarea nodului s-a încheiat
-Se păstrează informațiile despre distanța până la nodul sursă.
-Se obține arborele BFS
+====3.2 Operații====
+* **Căutarea** unei chei într-un arbore binar de căutare este asemănătoare căutării binare:cheia căutată este comparată cu cheia din nodul curent (inițial nodul rădăcină).În funcție de rezultatul comparației apar trei cazuri:
+   *acestea coincid => elementul a fost găsit
+   *elementul căutat este mai mic decât cheia din nodul curent => căutarea continuă în subarborele stâng
+   *elementul căutat este mai mare decât cheia din nodul curent => căutarea continuă in subarborele drept\\
+\\
+* **Înserarea** unui nod se face,în funcție de rezultatul comparației cheilor,în subarborele stâng sau drept.Dacă arborele este vid,se creează un nod care devine nodul rădăcină al arborelui.În caz contrar,cheia se inserează ca fiu stâng sau fiu drept al unui nod din arbore.\\
 \\
-Pentru implementarea BFS se utilizează o coadă (Q) în care inițial se află doar nodul sursă.Se vizitează pe rând vecinii acestui nod și se pun și ei în coadă.În momentul în care nu mai există vecini nevizitați,nodul sursă este scos din coadă.
+* **Ștergerea** unui nod este o operație puțin mai complicată,întrucât presupune o rearanjare a nodurilor.Pentru eliminarea unui nod dintr-un arbore binar de căutare sunt posibile următoarele cazuri:
+  *nodul de șters nu există => operația se consideră încheiată
+  *nodul de șters nu are succesori => este o frunză
+  *nodul de șters are un singur succesor => nodul se va șterge și se refac legăturile în arbore
+  *nodul de șters are doi succesori => se parcurge arborele drept,căutându-se cea mai mică valoare,mai mare decât a nodului care trebuie șters și se refac legăturile cu acesta.\\
-<file cpp>
+=====4 Aplicații=====
-Pentru fiecare nod u din graf
+====4.1 Abstract Syntax Tree (Construcție Parse Tree)====
-{
+{{ :laboratoare:compiler_structure.jpg |#poza compiler structure#}}
-     culoare[u]=alb
+\\
-     d[u] = infinit    //in d se retine distanta pana la nodul sursa
+In general,compilatoarele, indiferent de limbajul pe care îl tratează,parcurg un fisier sursă (sau mai multe),efectuează o serie de prelucrari asupra acestuia,pentru ca în final să obțină un set de intrucțiuni simple ce vor fi executate de procesor.\\
-     p[u] = null       //
+Primul pas în compilarea unui program este parsarea codului sursă pentru a produce un Abstract Syntax Tree.Programele sunt scrise sub formă de text,deci vom avea o secvență de caractere,ceea ce e dificil de manipulat de un calculator.\\
-}
+Aici intervine rolul unui:
+*lexer[5] care recunoaște șiruri ce aparțin unei gramatici strict prestabilite
+*parser care grupează șirurile structurat după o anumită regulă și adesea produc un AST\\
-culoare[sursă]=gri
+Să considerăm o expresie matematică:2 + 4*5 + 1*2*3\\
-d[sursă]=0
+Pentru a crea un arbore de parsare avem nevoie să folosim următoarele structuri:
-enqueue(Q,sursă)     //punem nodul sursă în coada Q
+*stivă rezultat - folosită pentru a reține operanzii si rezultatele intermediare ale operațiilor parcurse până la un moment dat
+*stivă de operatori - folosit pentru a reține operatorii\\
+         +
+        / \
+    +
+           / \
+          *    *
+         / \  / \
+  5 1   *
+                / \
+   3
-Cât timp coada Q nu este vidă
-{
-     v=dequeue(Q)   //extragem nodul v din coadă
-     pentru fiecare u dintre vecinii lui v
-          dacă culoare[u] == alb
-          {
-               culoare[u] = gri
-               p[u] = v
-               d[u] = d[v] + 1
-               enqueue(Q,u)   //adăugăm nodul u în coadă
-          }
-     culoare[v] = negru   //am terminat explorarea vecinilor lui v
-}
+\\
+\\
+<note tip>**Algoritmul presupune:**\\
+  - Se parcurge expresia,termen cu termen (un termen poate fi operator sau operand)\\
+  - Dacă termenul curent este operand\\
+      - Aceasta se adaugă in stivă rezultat și se trece la termenul urmator\\
+  - Daca termenul curent este operator ($)\\
+      - Daca stiva operatorilor este vidă,se adaugă operatorul in stiva de operatori și se trece la termenul urmator\\
+      - Dacă stiva nu este vidă:\\
+          - Și operatorul curent are prioritate mai mare decât capul stivei (ex: crt este *,top(stivă) este +) \\
+            *se adaugă operatorul în stivă și se trece la termenul următor\\
+          - Și operatorul curent are prioritate mai mică decât capul stivei (ex: crt este +,top(stivă) este *)\\
+            *Se scot din stivă rezultatele ultimelor două rezultate\\
+            *Se scoate un operator din stiva operatorilor \\
+            *Se creează un nou rezultat intermediar,aplicând operatorul extras pe cele două rezultate de mai sus\\
+            *Acest rezultat intermediar se adaugă în stiva de rezultate\\
+            *Se verifică condițiile de la $(se compară din nou același operator curent cu operatorul din vârful stivei).
+</note>
-</file>
-\\
-**Exemplu**
-{{ :laboratoare:bfs.jpg |}}
-====4.2 Parcurgerea în adâncime====
+{{ :laboratoare:ast_stiva.jpg? |#poza mare arbori#}} \\
-Parcurgea în adâncime **(Depth-First-Search -DFS)** presupune explorarea nodurilor în următoarea ordine:
-   *Nodul sursă
-   *Primul vecin nevizitat al nodului sursă (îl numim //V1//)
+=====5.1. Exerciții - schelet de laborator====
-   *Primul vecin nevizitat al lui //V1// (îl numim //V2//)
+Pentru acest laborator puteți descărca scheletul de cod de [[http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab4_arbori-skel.zip|aici]]. Descărcați arhiva și dezarhivați-o.
-   *ș.a.m.d
-   *În momentul în care am epuizat vecinii unui nod //Vn//, continuăm cu următorul vecin nevizitat al nodului anterior,//Vn-1//
+=== Linux===
+Puteti folosi utilitarul ''%%wget%%'' pentru descarcare si utilitarul ''%%unzip%%'' pentru dezarhivare.
+  * ''%%wget http://elf.cs.pub.ro/sda-ab/wiki/_media/laboratoare/lab4_arbori-skel.zip%%''
+  * ''%%unzip lab4_arbori-skel.zip%%''
+Pentru compilare folositi comanda ''%%make%%''. Pentru rulare puteti folosi comanda ''%%make run%%'' sau ''%%./tree%%''.
+=====5.2. Exerciții====
+  - Se dă un vector cu n întregi. Scrieţi o funcţie care să creeze un arbore binar de căutare cu valorile din vector.
+  - Se dă un arbore binar ce stochează întregi. Scrieţi o funcţie care verifică dacă arborele este binar de căutare.
+  - Se dă un arbore binar de căutare ce stochează  întregi. Scrieţi o funcţie care verifică dacă o valoare dată se află în arbore(căutare).
+  - Acelaşi arbore – inserare(şi să rămână arbore de căutare)
+  - Acelaşi arbore – ştergere(şi să rămână arbore de căutare)
+Puteţi testa primele 5 exerciţii în acelaşi program.
+===Problemă întreagă===
+  * Să se realizeze stocul unei farmacii,știind că informațiile pentru medicamentele unei farmacii sunt:nume medicament,preț,cantitate,data primirii,data expirării.
-Această metoda de parcurgere pune prioritate pe explorarea **în adâncime** (pe distanțe tot mai mari față de nodul sursă).
+Evidența medicamentelor se ține cu un program care are drept structură de date un arbore de căutare după nume medicament.
+Să se scrie programul care execută următoarele operații:
+*Creează arborele de căutare
+*Caută un nod după câmpul nume medicament și actualizează câmpurile de informare
+*Tipăreste medicamentele în ordine lexicografică
+*Elimină un nod identificat prin nume medicament
+*Creează un arbore de căutare cu medicamentele care au data de expirare mai "mică" decât o dată specificată de la terminal
+*Determinați greutatea(fie greutatea = numărul de frunze) arborelui și verificați dacă este binar complet sau nu
-====4.2.1 Implementare====
+===Probleme de interviu===
+  * Se dă V(un vector de n întregi) şi  P(un vector de taţi de lungime n). Verificaţi dacă se poate construi un arbore binar de căutare cu valorile din V şi legăturile copil-părinte din P.
+  * Fie un arbore binar perfect cu înălţimea H. Creaţi (H + 1) vectori/liste, câte unul/una pentru fiecare nivel din arbore. Afişaţi fiecare nivel(parcurgerea în lăţime) cu ajutorul vectorilor/listelor.
+  * Găsiţi cel mai apropiat strămoş comun pentru două noduri dintr-un arbore binar.
+  * Se dau doi arbori binari cu întregi, A1 şi A2, iar A1 conţine mult mai multe noduri decât A2. Verificaţi dacă A2 arată la fel ca un subarbore din A1.(“Arată la fel”, adică valorile întregi sunt aceleaşi)
-<code>
-Cod
-</code>
-{{ :laboratoare:df1.jpg |}}

Structuri de Date și Algoritmi (seria 1AB)

Unelte utilizator

Unelte site

Diferențe

Unelte pagină